Question

設(shè)全集I＝R，已知集合M＝{x|（x＋3）2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．

（1）求（∁IM）∩N；

（2）記集合A＝（∁IM）∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）{2}；（2）{a|a≥3}

【解析】

試題分析：（1）已知兩集合若求交、并、補(bǔ)應(yīng)注意端點(diǎn)值以及結(jié)合數(shù)軸完成；（2）已知兩個(gè)集合之間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，要明確集合中的元素，對(duì)子集是否為空集進(jìn)行分類討論，做到不漏解恒成立問(wèn)題一般需轉(zhuǎn)化為最值，利用單調(diào)性證明在閉區(qū)間的單調(diào)性.（3）一元二次不等式在上恒成立，看開(kāi)口方向和判別式.（4）含參數(shù)的一元二次不等式在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問(wèn)題通常有兩種處理方法：一是利用二次函數(shù)在區(qū)間上的最值來(lái)處理；二是分離參數(shù)，再去求函數(shù)的最值來(lái)處理，一般后者比較簡(jiǎn)單，對(duì)于恒成立的問(wèn)題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：（1），（2）.

試題解析：（1）∵M(jìn)＝{x|≤0}＝{－3}， N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，

∴＝{x|x≠－3}， ∴（）∩N＝{2}．

（2）A＝（）∩N＝{2}，

∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴B＝或B＝{2}，

當(dāng)B＝時(shí)，a－1>5－a，∴a>3；

當(dāng)B＝{2}時(shí)，，解得a＝3，

綜上所述，所求a的取值范圍為{a|a≥3}．

考點(diǎn)：（1）集合間的基本關(guān)系；（2）利用最值證明恒成立問(wèn)題.