Question

已知函數．

(1)若直線與的反函數的圖象相切，求實數k的值;

(2)設，討論曲線與曲線公共點的個數;

(3)設，比較與的大小，并說明理由．

 

Answer 1

(1)

(2)見解析；

(3)

【解析】(1)的反函數為．

設直線與的圖象在處相切，則

，解得．

(2)曲線與的公共點個數等于曲線與y=m的公共點個數．

令，則，∴．

當時，，在(0，2)上單調遞減;

當時，，在(2，+∞)上單調遞增，

∴在(0，+∞)上的最小值為．

當時，曲線與y=m無公共點;

當，曲線與y=m恰有一個公共點;

當時，在區(qū)間(0，2)內存在，使得，在(2，+∞)內存在，使得．

由的單調性知，曲線與y=m在(0，+∞)上恰有兩個公共點．

綜上所述，當x>0時，

若，曲線與沒有公共點;

若，曲線與有一個公共點;

若，曲線與有兩個公共點．

(3)解法一:可以證明．事實上，

．(*)

令，

則，

(當且僅當x=0時等號成立)，

∴在[0，+∞)上單調遞增，

∴時，．

令，即得(*)式，結論得證．

解法二:

，

設函數，

則，

令，則(當且僅當x=0時等號成立)，

∴單調遞增，

∴當x>0時，，∴單調遞增．

當x>0時，u(x)>u(0)=0．

令，得，

∴，

因此，．