已知函數(shù)，它的一個極值點是．

(Ⅰ) 求的值及的值域；

(Ⅱ)設(shè)函數(shù)，試求函數(shù)的零點的個數(shù)．

 

【答案】

(Ⅰ) 當時，的值域為；當時，的值域為；(Ⅱ) 當時，函數(shù)有2個零點；當時，函數(shù)沒有零點．

【解析】

試題分析：(Ⅰ)因為它的一個極值點是，所以有，可求出的值，從而求出值域；(Ⅱ) 函數(shù)的零點個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題．

試題解析：（1），因為它的一個極值點是，所以有，可得或．當時，分析可知：在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；由此可求得，的值域為；當時，分析可知：在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；由此可求得，的值域為．

(Ⅱ)函數(shù)的零點個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題．．因為，所以，所以．設(shè)，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即有．所以．所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．

（�。┊�時，，，，

而，結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得，此時函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有2個交點，即函數(shù)有2個零點．

(ⅱ)當時，，由于，所以，此時函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒有交點，即函數(shù)沒有零點．

綜上所述，當時，函數(shù)有2個零點；當時，函數(shù)沒有零點．

考點：1、函數(shù)極值點，2、利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，3、函數(shù)的圖像與性質(zhì)．

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

15、已知函數(shù)f（x）是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，給出下列結(jié)論：
①若存在常數(shù)x0，使f′（x）=0，則函數(shù)f（x）必在x0處取得極值；
②若函數(shù)f（x）在x0處取得極值，則函數(shù)f（x）在x0處必可導(dǎo)；
③若函數(shù)f（x）在R上處處可導(dǎo)，則它有極小值就是它在R上的最小值；
④若對于任意x≠x0都有f（x）＞f（x0），則f（x0）是函數(shù)f（x）的最小值；
⑤若對于任意x＜x0有f′（x）＞0，對于任意x＞x0有f′（x）＜0，則f（x0）是函數(shù)f（x）的一個最大值；
其中正確結(jié)論的序號是
④⑤
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知矩陣A=
a2
1b
有一個屬于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
，
①求矩陣A；
②已知矩陣B=
1-1
01
，點O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩陣AB的對應(yīng)變換作用下所得到的△O'M'N'的面積．
（2）已知在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為
x=t-3
y=
3
 t
（t為參數(shù)），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C的極坐標方程為ρ2-4ρco sθ+3=0．
①求直線l普通方程和曲線C的直角坐標方程；
②設(shè)點P是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的取值范圍．
（3）已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+1|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若關(guān)于x的不等式f（x）≥a2-a在R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

已知函數(shù)f（x）是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，給出下列結(jié)論：
①若存在常數(shù)x0，使f′（x）=0，則函數(shù)f（x）必在x0處取得極值；
②若函數(shù)f（x）在x0處取得極值，則函數(shù)f（x）在x0處必可導(dǎo)；
③若函數(shù)f（x）在R上處處可導(dǎo)，則它有極小值就是它在R上的最小值；
④若對于任意x≠x0都有f（x）＞f（x0），則f（x0）是函數(shù)f（x）的最小值；
⑤若對于任意x＜x0有f′（x）＞0，對于任意x＞x0有f′（x）＜0，則f（x0）是函數(shù)f（x）的一個最大值；
其中正確結(jié)論的序號是 ________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知函數(shù)f（x）是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，給出下列結(jié)論：
①若存在常數(shù)x0，使f′（x）=0，則函數(shù)f（x）必在x0處取得極值；
②若函數(shù)f（x）在x0處取得極值，則函數(shù)f（x）在x0處必可導(dǎo)；
③若函數(shù)f（x）在R上處處可導(dǎo)，則它有極小值就是它在R上的最小值；
④若對于任意x≠x0都有f（x）＞f（x0），則f（x0）是函數(shù)f（x）的最小值；
⑤若對于任意x＜x0有f′（x）＞0，對于任意x＞x0有f′（x）＜0，則f（x0）是函數(shù)f（x）的一個最大值；
其中正確結(jié)論的序號是 ______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年云南省高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元測試14：導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，給出下列結(jié)論：
①若存在常數(shù)x，使f′（x）=0，則函數(shù)f（x）必在x處取得極值；
②若函數(shù)f（x）在x處取得極值，則函數(shù)f（x）在x處必可導(dǎo)；
③若函數(shù)f（x）在R上處處可導(dǎo)，則它有極小值就是它在R上的最小值；
④若對于任意x≠x都有f（x）＞f（x），則f（x）是函數(shù)f（x）的最小值；
⑤若對于任意x＜x有f′（x）＞0，對于任意x＞x有f′（x）＜0，則f（x）是函數(shù)f（x）的一個最大值；
其中正確結(jié)論的序號是     ．

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