Question

7．已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線；
（2）若g（x）=-x²+ax-3，且不等式g（x）-2f（x）≤0對一切x＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)x∈（0，+∞）時，求證：e^xlnx+$\frac{2{e}^{x-1}}{x}$＞1．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，即可求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線方程；
（2）由g（x）-2f（x）≤0，有a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$，求出右邊的最小值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）問題等價于xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，由（1）知，f（x）的最小值是-$\frac{1}{e}$，右邊取得最大值-$\frac{1}{e}$，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：∵f（x）=xlnx，
∴f′（x）=lnx+1，
∴f′（1）=1，
∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為y=x-1；
（2）解：由g（x）-2f（x）≤0，有a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$，
設(shè)h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$（x＞0），則h′（x）=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$，
①x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，②x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
所以h（x）_min=h（1）=4，
對一切x∈（0，+∞），g（x）-2f（x）≤0恒成立，所以a≤h（x）_min=4；
（3）證明：問題等價于xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，
由（1）知，f（x）的最小值是-$\frac{1}{e}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{e}$時取等號，
設(shè)y=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，則y′=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
∴0＜x＜1，y′＞0，x＞1，y′＜0，
∴函數(shù)在（0，1]上為增函數(shù)，在[1，+∞）上為減函數(shù)，
∴x=1時y_max=-$\frac{1}{e}$，
∴e^xlnx+$\frac{2{e}^{x-1}}{x}$＞1．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何運(yùn)用，考查恒成立問題，考查不等式的證明，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵．