Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別為棱DD₁，AB上的點．已知下列判斷：
①A₁C⊥平面B₁EF；
②△B₁EF在側面BCC₁B₁上的正投影是面積為定值的三角形；
③在平面A₁B₁C₁D₁內總存在與平面B₁EF平行的直線；
④平面B₁EF與平面ABCD所成的二面角（銳角）的大小與點E的位置有關，與點F的位置無關．
其中正確結論的序號為

 

（寫出所有正確結論的序號）．

Answer 1

考點：棱柱的結構特征

專題：空間位置關系與距離

分析：利用線面垂直的性質及三垂線逆定理，證明當F與A不重合時，A₁C與平面B₁EF不垂直；可得①錯誤；
根據射影的定義及三角形的面積公式可得射影三角形的面積；從而判斷②是否正確；
根據線面平行的判定定理可得③正確；
固定E的位置，變化F的位置，可得二面角的大小是變化的，由此可得④正確．

解答： 解：若A₁C⊥平面B₁EF，則A₁C⊥B₁F，由三垂線逆定理知：B₁F⊥A₁B，又當F與A不重合時，B₁F與A₁B不垂直，∴①錯誤；
∵E在側面BCC₁B₁上的投影在CC₁上，F在側面BCC₁B₁上的投影是B，∴△B₁EF在側面BCC₁B₁上的正投影是三角形，三角形的面積S=

1

2

×棱長×棱長為定值．∴②正確；
設平面A₁B₁C₁D₁∩平面B₁EF=l，∵平面A₁B₁C₁D₁內總存在與l平行的直線，由線面平行的判定定理得與l平行的直線，與平面B₁EF平行，∴③正確；
設E與D重合，F位置變化，平面B₁EF與平面ABCD所成的二面角（銳角）的大小也在變化，∴④錯誤．
故答案為：②③．

點評：本題考查了線面垂直的性質，線面平行的判斷及二面角的平面角的求法，考查了學生的空間想象能力與識圖能力，熟練掌握線面平行的判定定理及線面平行的性質定理是解題的關鍵．