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19.若a、b滿足條件\left\{\begin{array}{l}ax+by-1=0\\({3a+4b})x+({a-5b})y-({7a+3b})=0\end{array}(a>0,b>0),則8a+1的最小值為25.

分析 運(yùn)用直線系方程可得,(3a+4b)x+(a-5b)y-(7a+3b)=0恒過定點(diǎn)(2,1),代入ax+by-1=0,可得2a+b=1,由乘1法和基本不等式,即可得到所求最小值.

解答 解:由(3a+4b)x+(a-5b)y-(7a+3b)=0可得,
a(3x+y-7)+b(4x-5y-3)=0,
{3x+y7=04x5y3=0,解得{x=2y=1,
代入方程ax+by-1=0,可得2a+b=1,
8a+1=(2a+b)(8a+1
=16+1+\frac{2a}+8ba≥17+22a8ba=17+8=25.
當(dāng)且僅當(dāng)2a=8ba,即a=2b,又2a+b=1,即a=25,b=15時(shí),取得等號(hào).
8a+\frac{1}的最小值為25.
故答案為:25.

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用:求最值,注意運(yùn)用乘1法和滿足的條件:一正二定三等,同時(shí)考查直線恒過定點(diǎn)的求法,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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