Question

9．設S=log_a3t，T=log_a（t²-4）（a＞0，a≠1），試討論S和T的大小．

Answer 1

分析 由3t＞0，t²-4＞0，解得：t＞2．g（t）=T-S=$lo{g}_{a}\frac{{t}^{2}-4}{3t}$，令f（t）=$\frac{{t}^{2}-4}{3t}$，利用導數(shù)研究其單調性即可得出．對a與t分類討論即可得出．

解答 解：由3t＞0，t²-4＞0，解得：t＞2．
g（t）=T-S=log_a（t²-4）-log_a（3t）=$lo{g}_{a}\frac{{t}^{2}-4}{3t}$，
令f（t）=$\frac{{t}^{2}-4}{3t}$=$\frac{1}{3}（t-\frac{4}{t}）$，f′（t）=$\frac{1}{3}（1+\frac{4}{{t}^{2}}）$＞0，
∴函數(shù)f（t）在（2，+∞）上單調遞增．
①a＞1時，由$\frac{{t}^{2}-4}{3t}$＞1，解得t＞4，此時函數(shù)g（t）＞0，T＞S．
當t=4時，此時函數(shù)g（t）=0，T=S．
2＜t＜4，此時函數(shù)g（t）＜0，T＜S．
②0＜a＜1時，由$\frac{{t}^{2}-4}{3t}$＞1，解得t＞4，此時函數(shù)g（t）＜0，T＜S．
當t=4時，此時函數(shù)g（t）=0，T=S．
2＜t＜4，此時函數(shù)g（t）＞0，T＞S．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的運算法則、不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．