Question

（20）

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AC與BD相交于點(diǎn)O，且頂點(diǎn)P在底面上的射影恰為O點(diǎn)，又BO=2，PO=，PB⊥PD.

       

(Ⅰ)求異面直線PD與BC所成角的余弦值；

(Ⅱ)求二面角P-AB-C的大��；

(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)M在棱PC上，且為何值時，PC⊥平面BMD.

Answer 1

解法一：

    ∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD．

    又PB⊥PD，BO=2，PO=，

    由平面幾何知識得：  OD=1，PD=，PB＝．

    (Ⅰ)過D作DE∥BC交于AB于E．連結(jié)PE，則

    ∠PDE或其補(bǔ)角為異面直線PD與BC所成的角．

   

    ∵四邊形ABCD是等腰梯形，

    ∴OC=OD=1，OB=OA=2，OA⊥OB，

    ∴BC=，AB=2，CD=

    又AB∥DC，

    ∴四邊形EBCD是平行四邊形．

    ∴ED=BC=，BE=CD=．

    ∴E是AB的中點(diǎn)，且AE=．

    又PA=PB=，

    ∴△PEA為直角三角形．

    ∴PE=．

    在△PED中，由余弦定理得：

    cos∠PDE=．

    故異面直線PD與BC所成的角的余弦值為.

    (Ⅱ)連結(jié)OE，由(Ⅰ)及三垂線定理知，∠PEO為二面角P-AB-C的平面角．

    ∴sin∠PEO=，

    ∴∠PEO=45°．

    ∴二面角P-AB-C的大小為45°．

    (Ⅲ)連結(jié)MD，MB，MO，

   

    ∵PC⊥平面BMD，OM平面BMD，

    ∴PC⊥OM．

    又在Rt△POC中，

    PC=PD=，OC=1，PO=，

    ∴PM=，MC=，

    ∴=2.

    故λ=2時，PC⊥平面BMD．

解法二：

   

    ∵PO⊥平面ABCD，

    ∴PO⊥BD．

    又PB⊥PD，BO＝2，PO=，

    由平面幾何知識得：

    OD＝OC＝1，BO＝AO＝2．

    以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OP分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為O(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(-1，0，0)，D(0，-1，0)，P(0，0，)．

    （Ⅰ）∵=（0，-1，-），=（-1，-2，0），

    ∴||=，||=，·=2.

   

                        =

    故直線PD與BC所成的角的余弦值為．

    (Ⅱ)設(shè)平面PAB的一個法向量為n=(x，y，z)，

    由于=(-2，2，0)，=(-2，0，)，

    由

    得 

    取n=(1，1，)，又易知平面ABCD的一個法向量m＝(0，0，1)，

   

    又二面角P-AB-C為銳角，

    ∴所求二面角P-AB-C的大小為45°.

    (Ⅲ)設(shè)M(x₀，0，z₀)，由于P，M，C三點(diǎn)共線，

    z₀=x₀+    (1)

    ∵PC⊥平面BMD，

    ∴OM⊥PC．

    ∴(-1，0，-)·(x₀，0，z₀)=0

    ∴x₀+z₀=0    (2)

    由(1)(2)知：

    x₀=-，z₀=.

    ∴M(-，0，).

    ∴λ＝＝2.

    故λ=2時，PC⊥平面BMD．