Question

已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=

2

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，可得

a

2 2

=a1•a5，從而可求數(shù)列的公差，由此可求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）裂項(xiàng)求和，利用bn=

2

an•an+1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，即可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d，（d≠0），
∵a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，∴

a

2 2

=a1•a5（2分）
又a₁=1，∴（1+d）²=1•（1+4d），
∵d≠0，∴d=2（5分）
∴{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n-1（6分）
（Ⅱ）∵bn=

2

an•an+1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

（9分）
∴sn=

2

1•3

+

2

3•5

+…+

2

(2n-1)(2n+1)

=(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

（12分）

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，正確運(yùn)用公式是關(guān)鍵．