Question

已知a，b，c為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，滿(mǎn)足，函數(shù)f（x）=sinωx（ω＞0）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
（Ⅰ）證明：b+c=2a；
（Ⅱ）若，證明：△ABC為等邊三角形．

Answer 1

（本小題滿(mǎn)分12分）
解：（Ⅰ）∵
∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA
=2sinAsin（A+B）+sin（A+C）
=2sinA…（3分）
sinC+sinB=2sinA…（5分）
所以b+c=2a…（6分）
（Ⅱ）由題意知：由題意知：，解得：，…（8分）
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/231441.png' />，A∈（0，π），所以…（9分）
由余弦定理知：…（10分）
所以b²+c²-a²=bc因?yàn)閎+c=2a，所以，
即：b²+c²-2bc=0所以b=c…（11分）
又，所以△ABC為等邊三角形．…（12分）
分析：（Ⅰ）通過(guò)已知表達(dá)式，去分母化簡(jiǎn)，利用兩角和與差的三角函數(shù)，化簡(jiǎn)表達(dá)式通過(guò)正弦定理直接推出b+c=2a；
（Ⅱ）利用函數(shù)的周期求出ω，通過(guò)，求出的值，利用余弦定理說(shuō)明三角形是正三角形，即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，兩角和與差的三角函數(shù)，正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．