從圓x2+y2-4x-6y+12=0外一點(diǎn)P向圓引切線PT,T為切點(diǎn),且PT=PO,O為坐標(biāo)原點(diǎn)
(1)求點(diǎn)P的軌跡方程     
(2)求PT的最小值.
分析:(1)化圓的一般式為標(biāo)準(zhǔn)式,求出圓心坐標(biāo)和半徑,設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo),由切線長(zhǎng)等于P到O點(diǎn)的距離列式求得P的軌跡;
(2)由(1)得P得軌跡為直線,把|PT|的值轉(zhuǎn)化為|PO|的值,由點(diǎn)到直線的距離公式求解原點(diǎn)到直線的距離,可得|PT|的最小值.
解答:解:(1)由圓x2+y2-4x-6y+12=0,得(x-2)2+(y-3)2=1.∴圓心Q的坐標(biāo)為(2,3),半徑等于1.
設(shè)P(x,y),則|PT|2=(x-2)2+(y-3)2-12=x2+y2-4x-6y+12,
|PO|2=x2+y2
由|PM|=|PO|,得x2+y2-4x-6y+12=x2+y2
整理得:2x+3y-6=0.
∴點(diǎn)P的軌跡方程為:2x+3y-6=0;
(2)求|PT|的最小值,就是求|PO|的最小值.
在直線2x+3y-6=0上取一點(diǎn)到原點(diǎn)距離最小,
由“垂線段最短”得,直線OP垂直直線2x+3y-6=0,
由點(diǎn)到直線的距離公式得:
PT的最小值為:
|-6|
22+32
=
6
13
13
點(diǎn)評(píng):本題考查了軌跡方程的求法,考查了直線與圓的位置關(guān)系,訓(xùn)練了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,是中檔題.
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