Question

某聯(lián)歡晚會矩形抽獎活動，舉辦方設(shè)置了甲乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為

2

3

，中獎可以獲得2分，方案乙的中獎率為

2

5

，中獎可以得3分，未中獎則不得分，每人有且只有一次抽獎機(jī)會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎品．
（1）若小明選擇方案甲，小紅選擇方案乙，記他們的累計(jì)得分為X，求X＜4的概率；
（2）若小明小紅兩人選擇同一方案抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望最大？

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）記“這兩人的累計(jì)得分X＜4”的事件為A，則事件A的對立事件為“X=5”，由此能求出這兩人的累計(jì)得分X＜4的概率．
（2）設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎的次數(shù)為ξ，都選擇方案乙抽獎中獎的次數(shù)為η，則這兩人選擇方案甲抽獎累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（2ξ），選擇方案乙抽獎累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（3η），由此能求出他們選擇甲種方案抽獎，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望最大．

解答： 解：（1）記“這兩人的累計(jì)得分X＜4”的事件為A，則事件A的對立事件為“X=5”，
∵P（X=5）=

2

3

×

2

5

=

4

15

，
∴P（A）=1-P（X=5）=1-

4

15

=

11

15

，
∴這兩人的累計(jì)得分X＜4的概率為

11

15

．
（2）設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎的次數(shù)為ξ，都選擇方案乙抽獎中獎的次數(shù)為η，
則這兩人選擇方案甲抽獎累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（2ξ），
選擇方案乙抽獎累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（3η），
由已知得ξ～B（2，

2

3

），η～B（2，

2

5

），
∴E（ξ）=2×

2

3

=

4

3

，E（η）=2×

2

5

=

4

5

，
∴E（2ξ）=

8

3

＞E（3η）=

12

5

，
∴他們選擇甲種方案抽獎，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望最大．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．