已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線第一象限的圖象上，且Sin∠PF1F2=
5
5
，cos∠PF2F1=-
5
5
，則雙曲線的離心率為
3
5
5
3
5
5
．
分析：如圖所示．由cos∠PF2F1=-
5
5
，可得sin∠PF2F1=
2
5
5
．由正弦定理可得
|PF1|
sin∠PF2F1
=
|PF2|
sin∠PF1F2
，可得
|PF1|
|PF2|
=
2
5
5
5
5
=2．又|PF1|-|PF2|=2a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．由余弦定理可得：|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2-2|PF2| |PF1|cos∠PF2F1，代入化簡(jiǎn)整理即可得出．
解答：解：如圖所示．
∵cos∠PF2F1=-
5
5
，∴sin∠PF2F1=
2
5
5
．
由正弦定理可得
|PF1|
sin∠PF2F1
=
|PF2|
sin∠PF1F2
，∴
|PF1|
|PF2|
=
2
5
5
5
5
=2．
又|PF1|-|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a．
由余弦定理可得：|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2-2|PF2| |PF1|cos∠PF2F1，
∴(4a)2=(2a)2+(2c)2-2•2a•2c×(-
5
5
)，化為5c2+2
5
ac-3a2=0，
∴5e2+2
5
e-3=0，
解得e=
3
5
5
．
故答案為
3
5
5
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的定義、三角函數(shù)基本關(guān)系式、正弦余弦定理、離心率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
7
=1，直線l過其左焦點(diǎn)F1，交雙曲線的左支于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=4，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點(diǎn)，△ABF2的周長為20，則此雙曲線的離心率e=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，且該雙曲線的離心率為
5
，則該雙曲線的漸近線方程為（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e=2，點(diǎn)M(
5
，
3
)在雙曲線上．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且
OP
•
OQ
=0．問：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否為定值？若是請(qǐng)求出該定值，若不是請(qǐng)說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知直線l：kx-y+1+2k=0（k∈R），則該直線過定點(diǎn)
（-2，1）
（-2，1）
；
（2）已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線方程為y=
4
3
x，則雙曲線的離心率為
5
3
5
3
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）滿足| 
a1
b
2
 |=0，且雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線y2=4
3
x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的方程為
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案