Question

在如圖1所示的四邊形ABCD中，∠ADB=∠DCB=

π

2

，∠BDC=

π

6

，AD=BD=2．現(xiàn)將△ABD沿BD翻折，如圖2所示．
（Ⅰ）若二面角A-BD-C為直二面角，求證：AD⊥BC；
（Ⅱ）當(dāng)異面直線AD，BC所成角為

π

3

時，求二面角A-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二面角A-BD-C為直二面角，可得平面ABD⊥平面BCD，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，可得AD⊥平面BCD，從而可得AD⊥BC；
（Ⅱ）在△BCD中，作CO⊥BD，O為垂足，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式，即可求得二面角A-BD-C的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：∵二面角A-BD-C為直二面角，∴平面ABD⊥平面BCD
∵AD⊥BD，平面ABD∩平面BCD=BD
∴AD⊥平面BCD
∵BC?平面BCD，∴AD⊥BC；
（Ⅱ）在△BCD中，作CO⊥BD，O為垂足，建立空間直角坐標(biāo)系
∵AD=2，∴BC=1，BO=

1

2

，OC=

3

2

，OD=

3

2

設(shè)二面角A-BD-C的大小為θ，則A（-

3

2

，2cosθ，2sinθ），D（（-

3

2

，0，0），B（

1

2

，0，0），C（0，

3

2

，0）
∴

DA

=（0，2cosθ，2sinθ），

BC

=（-

1

2

，

3

2

，0）
∵

DA

•

BC

=|

DA

||

BC

|cos＜

DA

，

BC

＞
∴

3

cosθ=2cos＜

DA

，

BC

＞
∵異面直線AD，BC所成角為

π

3

∴＜

DA

，

BC

＞=

π

3

或

2π

3

∴cosθ=

3

3

或-

3

3

∴二面角A-BD-C的余弦值為

3

3

或-

3

3

．

點(diǎn)評：本題考查線線垂直，考查空間角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查向量知識的運(yùn)用，屬于中檔題．