Question

對于余弦定理的證明，我們已給出兩種證法：向量法和解析法，你還有其他的證法嗎？試設計一種方案．

Answer 1

答案：
解析：

探究過程：還可用三角方法，即構造直角三角形，利用三角函數(shù)尋找邊角關系． 　　具體方案如下： 　　當∠C是一個銳角時，如圖，此時，由c2聯(lián)想到直角三角形， 　　所以，可構造直角三角形．作AC邊上的高BD，在△BCD中， 　　BD＝asinC，CD＝acosC，在△BDA中，AD＝b－acosC， 　　由AB2＝BD2＋AD2可得c2＝(asinC)2＋(b－acosC)2，整理得c2＝a2＋b2－2abcosC． 　　當∠C是鈍角時，如圖，同理，可構造Rt△BDA，在Rt△BDC中， 　　BD＝asin∠BCD＝asin(180°－∠BCA)＝asin∠BCA， 　　CD＝acos∠BCD＝acos(180°－∠BCA)＝－acos∠BCA， 　　所以AD＝b＋CD＝b－acos∠BCA． 　　而在Rt△ABD中，有AB2＝BD2＋AD2， 　　所以c2＝(asin∠BCA)2＋(b－acos∠BCA)2． 　　整理得c2＝a2＋b2－2abcosC．① 　　所以對任意的△ABC，無論∠C取什么值，上式都成立． 　　同理，有a2＝b2＋c2－2bccosA，② 　　b2＝a2＋c2－2accosB．③ 　　探究結論：所得結論與前面的結論一致．