Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦點為F，上頂點為A，且△AOF的面積為$\frac{1}{2}$（O為坐標(biāo)原點）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P是橢圓C上的一點，過P的直線與以橢圓的短軸為直徑的圓切于第一象限內(nèi)的一點M，證明：|PF|+|PM|為定值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的離心率求得a=$\sqrt{2}$c，bc=1，及a²=b²-c²，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）利用橢圓的參數(shù)方程，設(shè)P點坐標(biāo)，利用兩點之間的距離公式，及勾股定理即可求得：|PF|+|PM|的值為定值．

解答 解：（1）由題意可知：橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$c，
由△AOF的面積為S=$\frac{1}{2}$×b×c=$\frac{1}{2}$，則bc=1，
由a²=b²+c²，解得：a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）證明：由（1）可知：F（1，0），以橢圓的短軸為直徑的圓的方程為x²+y²=1，
設(shè)P（$\sqrt{2}$cosθ，sinθ），且cosθ＞0，則|PF|=$\sqrt{（\sqrt{2}cosθ-1）^{2}+si{n}^{2}θ}$=$\sqrt{（cosθ-\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$-cosθ，
由M是圓x²+y²=1的切點，則OM⊥PM，且丨OM丨=1，
則丨PM丨=$\sqrt{丨OP{丨}^{2}-丨OM{丨}^{2}}$=$\sqrt{2co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ-1}$=$\sqrt{co{s}^{2}θ}$=cosθ，
∴|PF|+|PM|=$\sqrt{2}$-cosθ+cosθ=$\sqrt{2}$，
∴|PF|+|PM|為定值．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．