Question

10．已知圓F₁：（x+2）²+y²=32，點(diǎn)F₂（2，0），點(diǎn)Q在圓F₁上運(yùn)動(dòng)，QF₂的垂直平分線交QF₁于點(diǎn)P．
（ I）求證：|PF₁|+|PF₂|為定值及動(dòng)點(diǎn)P的軌跡M的方程；
（ II）不在x軸上的A點(diǎn)為M上任意一點(diǎn)，B與A關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，直線BF₂交橢圓于另外一點(diǎn)D．求證：直線DA與直線DB的斜率的乘積為定值，并求出該定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得圓F₁的圓心和半徑，運(yùn)用垂直平分線的性質(zhì)定理，可得|PF₁|+|PF₂|為定值R，由橢圓的定義和方程，可得所求軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則B（-x₁，-y₁），運(yùn)用直線的斜率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，化簡(jiǎn)整理即可得到所求定值．

解答 解：（Ⅰ）圓F₁：（x+2）²+y²=32的圓心為F₁（-2，0），半徑為4$\sqrt{2}$，
|PF₁|+|PF₂|=|PF₁|+|PQ|=|QF₁|=R=$4\sqrt{2}$為定值．
且$4\sqrt{2}$＞|F₁F₂|=4，可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓，
設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
可得$a=2\sqrt{2}$，c=2，b²=a²-c²=4，
故所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡M的方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$；
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則B（-x₁，-y₁），
${k_{DA}}•{k_{DB}}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}•\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{{y_2}^2-{y_1}^2}}{{{x_2}^2-{x_1}^2}}$，
∵A，D都在橢圓上，∴${x_1}^2+2{y_1}^2=8，{x_2}^2+2{y_2}^2=8$，
∴${y_2}^2-{y_1}^2=4-\frac{1}{2}{x_2}^2-（4-\frac{1}{2}{x_1}^2）=-\frac{1}{2}（{x_2}^2-{x_1}^2）$，
∴${k_{DA}}•{k_{DB}}=-\frac{1}{2}$．
則直線DA與直線DB的斜率的乘積為定值，且為-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的定義，考查橢圓方程的運(yùn)用，以及直線的斜率公式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．