Question

己知函數(shù)f（x）=x²+bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y=0平行，若數(shù)列{

1

f(n)

}的前n項(xiàng)和為S_n，則S₂₀₁₅的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得f′（1）=2+b=3，從而b=1，進(jìn)而

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此得到S_n=

n

n+1

，從而能求出S₂₀₁₅．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x²+bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y=0平行，
∴f′（x）=2x+b，f′（1）=2+b=3，解得b=1，
∴

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
∴S₂₀₁₅=

2015

2016

．
故答案為：

2015

2016

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前2015項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．