函數(shù)f(x)滿足:(1)定義域是(0,+∞);
(2)當(dāng)x>1時,f(x)<2;
(3)對任意x,y∈(0,+∞),總有f(xy)=f(x)+f(y)-2.
回答下面的問題
(1)求出f(1)的值;
(2)寫出一個滿足上述條件的具體函數(shù);
(3)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論.
解:(1)由題意對任意x,y∈(0,+∞),總有f(xy)=f(x)+f(y)-2.
令x=y=1,可得f(1)=2f(1)-2
∴f(1)=2
(2)f(x)=2+log
ax,其中a可以�。�0,1)內(nèi)的任意一個實數(shù);
(3)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減
事實上,設(shè)0<x
1<x
2,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/17589.png)
由已知x>1時,f(x)<2可得,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/17590.png)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/17591.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/17592.png)
<2+f(x
1)-2=f(x
1).
即f(x
2)<f(x
1)
∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減.
分析:(1)要求f(1),結(jié)合已知由題意對任意x,y∈(0,+∞),總有f(xy)=f(x)+f(y)-2可考慮賦值,令x=y=1,可求f(1).
(2)由任意x,y∈(0,+∞),總有f(xy)=f(x)+f(y)-2,類似對數(shù)的運算性質(zhì),聯(lián)想對數(shù)函數(shù).
(3)要證函數(shù)的單調(diào)性,需設(shè)0<x
1<x
2,則
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,由已知x>1時,f(x)<2可得,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/17590.png)
,故構(gòu)造
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/17591.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/17592.png)
<2+f(x
1)-2=f(x
1),從而可證.
點評:本題以抽象函數(shù)為載體,考查利用賦值求解函數(shù)值的問題,而函數(shù)的單調(diào)性的證明的最基本的方法是利用函數(shù)單調(diào)性的定義,解決此問題的關(guān)鍵是要根據(jù)題目中的條件進行合理的構(gòu)造,以達到比較f(x
1),f(x
2)的大小的目的.