在無窮數(shù)列{an}中,a1=1,對于任意n∈N*,都有an∈N*,an<an+1.設m∈N*,記使得an≤m成立的n的最大值為bm
(Ⅰ)設數(shù)列{an}為1,2,4,10,…,寫出b1,b2,b3的值;
(Ⅱ)若{an}是公差為2的等差數(shù)列,數(shù)列{bm}的前m項的和為Sm,求使得Sm>2014成立的m的最小值;
(Ⅲ)設ap=q,a1+a2+…+ap=A,b1+b2+…+bq=B,請你直接寫出B與A的關系式,不需寫推理過程.
考點:數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(Ⅰ)根據(jù)使得an≤m成立的n的最大值為bm,即可寫出b1,b2,b3的值;
(Ⅱ)由an=2n-1≤m,得n≤
m+1
2
.根據(jù)bm的定義,當m=2k-1時,bm=k;當m=2k時,bm=k,k∈N*.若m=2k-1,Sm=b1+b2+…+bm=2(1+2+3+…+k-1)+k=k2,由k2>2014的k的最小值為45,得m的最小值為89;若m=2k,Sm=b1+b2+…+bm=2(1+2+3+…+k)=k(k+1),由k(k+1)>2014的k的最小值為45,得m的最小值為90.所以m的最小值為89.
(Ⅲ)由ap=q,a1+a2+…+ap=A,b1+b2+…+bq=B,利用bm的定義能推導出B=p(q+1)-A.
解答: (本小題滿分14分)
解:(Ⅰ)∵數(shù)列{an}為1,2,4,10,…,
使得an≤m成立的n的最大值為bm
an≤1,則b1=1,an≤2,則b2=2,an≤3,則b3=2.…(3分)
(Ⅱ)∵{an}是公差為2的等差數(shù)列,a1=1,
∴an=1+(n-1)×2=2n-1,
由an=2n-1≤m,得n≤
m+1
2

根據(jù)bm的定義,當m=2k-1時,bm=k;當m=2k時,bm=k,k∈N*
①若m=2k-1,Sm=b1+b2+…+bm=b1+b2+b3+…+b2k-1
=2(1+2+3+…+k-1)+k=k2,
令k2>2014,由k∈N*,滿足k2>2014的k的最小值為45,
則m的最小值為89.…(6分)
②若m=2k,Sm=b1+b2+…+bm=b1+b2+b3+…+b2k
2(1+2+3+…+k)=k(k+1),
令k(k+1)>2014,
由k∈N*滿足k(k+1)>2014的k的最小值為45,
則m的最小值為90,…(9分)
由①②知滿足Sm>2014的m的最小值為89.…(10分)
(Ⅲ)∵ap=q,a1+a2+…+ap=A,b1+b2+…+bq=B,
∴B=p(q+1)-A.…(14分)
點評:本題考查等比數(shù)列的性質,考查學生對題意的理解,考查學生分析解決問題的能力,有難度.
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1
16
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