Question

在無窮數(shù)列{a_n}中，a₁=1，對于任意n∈N^*，都有a_n∈N^*，a_n＜a_n+1．設m∈N^*，記使得a_n≤m成立的n的最大值為b_m．
（Ⅰ）設數(shù)列{a_n}為1，2，4，10，…，寫出b₁，b₂，b₃的值；
（Ⅱ）若{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{b_m}的前m項的和為S_m，求使得S_m＞2014成立的m的最小值；
（Ⅲ）設a_p=q，a₁+a₂+…+a_p=A，b₁+b₂+…+b_q=B，請你直接寫出B與A的關系式，不需寫推理過程．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)使得a_n≤m成立的n的最大值為b_m，即可寫出b₁，b₂，b₃的值；
（Ⅱ）由a_n=2n-1≤m，得n≤

m+1

2

．根據(jù)b_m的定義，當m=2k-1時，b_m=k；當m=2k時，b_m=k，k∈N^*．若m=2k-1，S_m=b₁+b₂+…+b_m=2（1+2+3+…+k-1）+k=k²，由k²＞2014的k的最小值為45，得m的最小值為89；若m=2k，S_m=b₁+b₂+…+b_m=2（1+2+3+…+k）=k（k+1），由k（k+1）＞2014的k的最小值為45，得m的最小值為90．所以m的最小值為89．
（Ⅲ）由a_p=q，a₁+a₂+…+a_p=A，b₁+b₂+…+b_q=B，利用b_m的定義能推導出B=p（q+1）-A．

解答： （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}為1，2，4，10，…，
使得a_n≤m成立的n的最大值為b_m．
a_n≤1，則b₁=1，a_n≤2，則b₂=2，a_n≤3，則b₃=2．…（3分）
（Ⅱ）∵{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，a₁=1，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
由a_n=2n-1≤m，得n≤

m+1

2

．
根據(jù)b_m的定義，當m=2k-1時，b_m=k；當m=2k時，b_m=k，k∈N^*．
①若m=2k-1，S_m=b₁+b₂+…+b_m=b₁+b₂+b₃+…+b_2k-1
=2（1+2+3+…+k-1）+k=k²，
令k²＞2014，由k∈N^*，滿足k²＞2014的k的最小值為45，
則m的最小值為89．…（6分）
②若m=2k，S_m=b₁+b₂+…+b_m=b₁+b₂+b₃+…+b_2k
2（1+2+3+…+k）=k（k+1），
令k（k+1）＞2014，
由k∈N^*滿足k（k+1）＞2014的k的最小值為45，
則m的最小值為90，…（9分）
由①②知滿足S_m＞2014的m的最小值為89．…（10分）
（Ⅲ）∵a_p=q，a₁+a₂+…+a_p=A，b₁+b₂+…+b_q=B，
∴B=p（q+1）-A．…（14分）

點評：本題考查等比數(shù)列的性質，考查學生對題意的理解，考查學生分析解決問題的能力，有難度．