Question

已知定圓的圓心為，動(dòng)圓過點(diǎn)，且和圓相切，動(dòng)圓的圓心的軌跡記為．
(Ⅰ)求曲線的方程；
(Ⅱ)若點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，試探究直線：與曲線是否存在交點(diǎn)? 若存在，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）直線與曲線總有兩個(gè)交點(diǎn)，.

試題分析：（Ⅰ）先找出圓心和半徑，設(shè)出動(dòng)圓的圓心和半徑，因?yàn)閯?dòng)圓過點(diǎn)，且和圓相切，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓；（Ⅱ）討論的情況，分和兩種，當(dāng)時(shí)，顯然有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程組，消解方程，看解的個(gè)數(shù).
試題解析：（Ⅰ）圓的圓心為，半徑.
設(shè)動(dòng)圓的圓心為半徑為，依題意有.
由，可知點(diǎn)在圓內(nèi)，從而圓內(nèi)切于圓，故，
即，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓.       3分
設(shè)橢圓方程為. 由，，可得，.
故曲線的方程為.        6分
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由可得.此時(shí)直線的方程為：，
與曲線有兩個(gè)交點(diǎn).       8分
當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，
聯(lián)立方程組消去得，   ①
由點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，得，可得.
于是方程①可以化簡(jiǎn)為. 解得或.
當(dāng)代入方程可得；
當(dāng)代入方程可得.顯然時(shí)，.
綜上，直線與曲線總有兩個(gè)交點(diǎn)，.        13分