【題目】已知拋物線：內(nèi)有一點(diǎn)，過(guò)的兩條直線，分別與拋物線交于，和，兩點(diǎn)，且滿足，，已知線段的中點(diǎn)為，直線的斜率為.

（1）求證：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值；

（2）如果，點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于3，求的面積的最大值.

【答案】（1）見(jiàn)證明；（2）

【解析】

（1）設(shè)中點(diǎn)為，根據(jù)向量的線性運(yùn)算可知，且，和三點(diǎn)共線，利用點(diǎn)差法可得，，即，可知軸，故為定值（2）由得到，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線方程可求，寫(xiě)出面積公式即可求最值.

（1）設(shè)中點(diǎn)為，則由，可推得，，這說(shuō)明，且，和三點(diǎn)共線.

對(duì)，使用點(diǎn)差法，可得，即.

同理.

于是，即軸，所以為定值.

（2）由得到，設(shè)，，聯(lián)立

得，所以,,

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式知P到AB的距離為，

于是，令x=,則，

，令得，當(dāng)時(shí)， ,函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，故當(dāng)，即時(shí)，有最大值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E為PC上一點(diǎn)，當(dāng)F為DC的中點(diǎn)時(shí)，EF平行于平面PAD.

（Ⅰ）求證：平面PCB；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（1）寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程，并求拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；

（2）過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，且點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn).

（i）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（ii）求與面積之和的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2019年上半年我國(guó)多個(gè)省市暴發(fā)了“非洲豬瘟”疫情，生豬大量病死，存欄量急劇下降，一時(shí)間豬肉價(jià)格暴漲，其他肉類價(jià)格也跟著大幅上揚(yáng)，嚴(yán)重影響了居民的生活.為了解決這個(gè)問(wèn)題，我國(guó)政府一方面鼓勵(lì)有條件的企業(yè)和散戶防控疫情，擴(kuò)大生產(chǎn)；另一方面積極向多個(gè)國(guó)家開(kāi)放豬肉進(jìn)口，擴(kuò)大肉源，確保市場(chǎng)供給穩(wěn)定.某大型生豬生產(chǎn)企業(yè)分析當(dāng)前市場(chǎng)形勢(shì)，決定響應(yīng)政府號(hào)召，擴(kuò)大生產(chǎn)，決策層調(diào)閱了該企業(yè)過(guò)去生產(chǎn)相關(guān)數(shù)據(jù)，就“一天中一頭豬的平均成本與生豬存欄數(shù)量之間的關(guān)系”進(jìn)行研究.現(xiàn)相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：

生豬存欄數(shù)量（千頭）

2

3

4

5

8

頭豬每天平均成本（元）

3.2

2.4

2

1.9

1.5

（1）研究員甲根據(jù)以上數(shù)據(jù)認(rèn)為與具有線性回歸關(guān)系，請(qǐng)幫他求出關(guān)于的線性回歸方程（保留小數(shù)點(diǎn)后兩位有效數(shù)字）

（2）研究員乙根據(jù)以上數(shù)據(jù)得出與的回歸模型：.為了評(píng)價(jià)兩種模型的擬合結(jié)果，請(qǐng)完成以下任務(wù)：

①完成下表（計(jì)算結(jié)果精確到0.01元）（備注：稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差）；

生豬存欄數(shù)量（千頭）

2

3

4

5

8

頭豬每天平均成本（元）

3.2

2.4

2

1.9

1.5

模型甲

估計(jì)值

殘差

模型乙

估計(jì)值

3.2

2.4

2

1.76

1.4

殘差

0

0

0

0.14

0.1

②分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和及，并通過(guò)比較與的大小，判斷哪個(gè)模型擬合效果更好；

（3）根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，生豬存欄數(shù)量達(dá)到1萬(wàn)頭時(shí)，飼養(yǎng)一頭豬每一天的平均收入為7.5元；生豬存欄數(shù)量達(dá)到1.2萬(wàn)頭時(shí)，飼養(yǎng)一頭豬每一天的平均收入為7.2元.若按（2）中擬合效果較好的模型計(jì)算一天中一頭豬的平均成本，問(wèn)該生豬存欄數(shù)量選擇1萬(wàn)頭還是1.2萬(wàn)頭能獲得更多利潤(rùn)?請(qǐng)說(shuō)明理由.（利潤(rùn)=收入-成本）

參考公式：，

參考數(shù)據(jù)： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（是常數(shù)）.

（1）若，求函數(shù)的值域；

（2）若為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù).并證明的圖像始終在的圖像的下方；

（3）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意，以為邊長(zhǎng)總可以構(gòu)成三角形，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類的，，，四項(xiàng)參賽作品，只評(píng)一項(xiàng)一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下：

甲說(shuō)：“是或作品獲得一等獎(jiǎng)”；

乙說(shuō)：“作品獲得一等獎(jiǎng)”；

丙說(shuō)：“，兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”；

丁說(shuō)：“是作品獲得一等獎(jiǎng)”.

若這四位同學(xué)中只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓：的焦距為，且橢圓過(guò)點(diǎn)，直線與圓: 相切，且與橢圓相交于兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）求三角形面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】.華為公司研發(fā)的5G技術(shù)是中國(guó)在高科技領(lǐng)域的重大創(chuàng)新，目前處于世界領(lǐng)先地位，今年即將投入使用，它必將為人們生活帶來(lái)別樣的精彩，成為每個(gè)中國(guó)人的驕傲.現(xiàn)假設(shè)在一段光纖中有條通信線路，需要輸送種數(shù)據(jù)包，每條線路單位時(shí)間內(nèi)輸送不同數(shù)據(jù)包的大小數(shù)值如表所示.若在單位時(shí)間內(nèi)，每條線路只能輸送一種數(shù)據(jù)包，且使完成種數(shù)據(jù)包輸送的數(shù)值總和最大，則下列敘述正確的序號(hào)是_______.

①甲線路只能輸送第四種數(shù)據(jù)包；

②乙線路不能輸送第二種數(shù)據(jù)包；

③丙線路可以不輸送第三種數(shù)據(jù)包；

④丁線路可以輸送第三種數(shù)據(jù)包；

⑤戊線路只能輸送第四種數(shù)據(jù)包.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍.

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