Question

已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）若直線是曲線的切線，求實數(shù)的值；

（3）設在區(qū)間上的最小值.（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

 

Answer 1

（1）的單調遞減區(qū)間是和，單調遞增區(qū)間是；（2）；（3）當時，最小值為；當時，的最小值=；當時，最小值為.

【解析】

試題分析：（1）先求出導函數(shù)，分別令導函數(shù)大于0即可求出增區(qū)間，導數(shù)小于0即可求出減區(qū)間；

（2）首先設出切點坐標，然后直接利用切線的斜率即為切點處的導數(shù)值以及切點是直線與曲線的共同點可得方程組，解之即可求實數(shù)的值；

（3）先求出的導函數(shù)，分三種情況討論函數(shù)在區(qū)間上的單調性，即當，即時， 在區(qū)間上為增函數(shù)，所以最小值為；當，即時，在區(qū)間上為減函數(shù)，所以最小值為；當，即時，最小值=.進而求得其在區(qū)間上的最小值.

試題解析：（1），（），在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，.所以，的單調遞減區(qū)間是和，單調遞增區(qū)間是.

（2）設切點坐標為，則 ,解得，.

（3），則，令，解得，所以，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，在區(qū)間上，為遞增函數(shù).

當，即時，在區(qū)間上，為遞增函數(shù)，所以最小值為.

當，即時，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，所以最小值為.

當，即時，最小值=.

綜上所述，當時，最小值為；當時，的最小值=；當時，最小值為.

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)求閉區(qū)間上的最值.