Question

已知函數(shù)f(x)=

2

cos(2x-

π

4

)，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

8

，

π

2

]上的最小值和最大值，并求出取得最值時x的值．

Answer 1

分析：（1）由余弦函數(shù)的周期公式T=

2π

|ω|

即可求得答案；
（2）x∈[-

π

8

，

π

2

]⇒2x-

π

2

∈[-

3π

4

，

π

2

]，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得其最小值和最大值及取得最值時x的值．

解答：解：（1）f（x）的最小正周期T=

2π

|ω|

=

2π

2

=π…3分
當(dāng)2kπ≤2x-

π

4

≤2kπ+π，即kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，k∈Z時，f（x）單調(diào)遞減，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z…6分
（2）∵x∈[-

π

8

，

π

2

]，則2x-

π

2

∈[-

3π

4

，

π

2

]，
故cos（2x-

π

2

）∈[-

2

2

，1]，
∴f（x）_max=

2

，此時2x-

π

2

=0，即x=

π

4

；
f（x）_min=-1，此時2x-

π

2

=-

3π

4

，即x=-

π

8

…13分

點(diǎn)評：本題考查復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，著重考查余弦函數(shù)的周期公式及單調(diào)性與最值的應(yīng)用，屬于中檔題．