Question

20．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知acosC+ccosA=2bcosA．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a=1，求b+c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡acosC+ccosA=2bcosA，結合三角形的內角和，求解A即可．
（Ⅱ）通過余弦定理以及基本不等式求出b+c的范圍，再利用三角形三邊的關系求出b+c的范圍．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，因為acosC+ccosA=2bcosA，
所以sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，即sin（A+C）=2sinBcosA．
因為A+B+C=π，
所以sin（A+C）=sinB．
從而sinB=2sinBcosA．…（4分）
因為sinB≠0，
所以cosA=$\frac{1}{2}$．
因為0＜A＜π，
所以A=$\frac{π}{3}$．…（7分）
（Ⅱ）由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
則1=b²+c²-bc，
∴（b+c）²-3bc=1，
即3bc=（b+c）²-1≤3[$\frac{1}{2}$（b+c）]2，
化簡得，（b+c）²≤4（當且僅當b=c時取等號），
則b+c≤2，又b+c＞a=1，
綜上得，b+c的取值范圍是（1，2]．…（12分）

點評 本題考查正弦定理與余弦定理的應用，兩角和的正弦公式，三角形的邊角關系式，以及基本不等式求最值，考查分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．