【題目】已知在四棱錐中，，，是的中點(diǎn)，是等邊三角形，平面平面.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)為，連結(jié)，，，設(shè)交于，連結(jié).證明，，即可證平面；（2）取的中點(diǎn)為，以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)?/span>軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，利用向量法求二面角的余弦值.

（1）證明：取的中點(diǎn)為，連結(jié)，，，設(shè)交于，連結(jié).

因?yàn)?/span>，，

四邊形與四邊形均為菱形，

， ，，

因?yàn)?/span>為等邊三角形，為中點(diǎn)，

，

因?yàn)槠矫?/span>平面，且平面平面.

平面且，

平面

因?yàn)?/span>平面，

，

因?yàn)?/span>H，分別為， 的中點(diǎn)，

，

.

又因?yàn)?/span> ，

平面，

平面.

（2）取的中點(diǎn)為，以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)?/span>軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，，，

，，

設(shè)平面的一法向量.

由 .令，則.

由（1）可知，平面的一個(gè)法向量，

二面角的平面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線C的普通方程；

（2）直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），直線l與x軸交于點(diǎn)F，與曲線C的交點(diǎn)為A，B，當(dāng)取最小值時(shí)，求直線l的直角坐標(biāo)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，某海濱養(yǎng)殖場(chǎng)有一塊可用水城，該養(yǎng)殖場(chǎng)用隔離網(wǎng)把該水域分為兩個(gè)部分，其中百米，現(xiàn)計(jì)劃過(guò)處再修建一條直線型隔離網(wǎng)，其端點(diǎn)分別在上，記為

（1）若要使得所圍區(qū)域面積不大于平方百米，求的取值范圍：

（2）若要在區(qū)域內(nèi)養(yǎng)殖魚(yú)類甲，區(qū)域內(nèi)養(yǎng)殖魚(yú)類乙，已知魚(yú)類甲的養(yǎng)殖成本是萬(wàn)元/平方百米，魚(yú)類乙的養(yǎng)殖成本是萬(wàn)元/平方百米.試確定的值，使得養(yǎng)殖成本最小，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．

（1）求橢圓的方程；

（2）M，N是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上不同于M，N的一點(diǎn)，直線PM，PN交x軸于D（xD，0）E（xE，0），證明：xDxE為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】中國(guó)北京世界園藝博覽會(huì)于2019年4月29日至10月7日在北京市延慶區(qū)舉行．組委會(huì)為方便游客游園，特推出“導(dǎo)引員”服務(wù)．“導(dǎo)引員”的日工資方案如下：

方案：由三部分組成

（表一）

底薪

150元

工作時(shí)間

6元/小時(shí)

行走路程

11元/公里

方案：由兩部分組成：（1）根據(jù)工作時(shí)間20元/小時(shí)計(jì)費(fèi)；（2）行走路程不超過(guò)4公里時(shí)，按10元/公里計(jì)費(fèi)；超過(guò)4公里時(shí)，超出部分按15元/公里計(jì)費(fèi)．已知“導(dǎo)引員”每天上班8小時(shí)，由于各種因素，“導(dǎo)引員”每天行走的路程是一個(gè)隨機(jī)變量．試運(yùn)行期間，組委會(huì)對(duì)某天100名“導(dǎo)引員”的行走路程述行了統(tǒng)計(jì)，為了計(jì)算方便對(duì)日行走路程進(jìn)行取整處理．例如行走1.8公里按1公里計(jì)算，行走5.7公里按5公里計(jì)算．如表所示：

（表二）

行走路程

（公里）

人數(shù)

5

10

15

45

25

（Ⅰ）分別寫出兩種方案的日工資（單位：元）與日行走路程（單位：公里）的函數(shù)關(guān)系

（Ⅱ）①現(xiàn)按照分層抽樣的方工式從，共抽取5人組成愛(ài)心服務(wù)隊(duì)，再?gòu)倪@5人中抽取3人當(dāng)小紅帽，求小紅帽中恰有1人來(lái)自的概率；

②“導(dǎo)引員”小張因?yàn)樯眢w原因每天只能行走12公里，如果僅從日工資的角度考慮，請(qǐng)你幫小張選擇使用哪種方案會(huì)使他的日工資更高？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在，（）處導(dǎo)數(shù)相等，證明：；

（2）是否存在，使直線是曲線的切線，也是曲線的切線，而且這樣的直線是唯一的，如果存在，求出直線方程，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】按照我國(guó)《機(jī)動(dòng)車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險(xiǎn)條例》規(guī)定，交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購(gòu)買的險(xiǎn)種，若普通7座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用（基準(zhǔn)保費(fèi)）統(tǒng)一為元，在下一年續(xù)保時(shí)，實(shí)行的是保費(fèi)浮動(dòng)機(jī)制，保費(fèi)與上一、二、三個(gè)年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相關(guān)聯(lián)，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動(dòng)情況如表：

某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通7座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了80輛車齡已滿三年的該品牌同型號(hào)私家車在下一年續(xù)保時(shí)的情況，統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格：

以這80輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問(wèn)題：

（1）某家庭有一輛該品牌車且車齡剛滿三年，記為該車在第四年續(xù)保時(shí)的費(fèi)用，求的分布列；

（2）某銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基準(zhǔn)保費(fèi)的車輛記為事故車.

①若該銷售商購(gòu)進(jìn)三輛車（車齡已滿三年）該品牌二手車，求這三輛車中至少有2輛事故車的概率；

②假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車虧損4000元，一輛非事故車盈利8000元.若該銷售商一次購(gòu)進(jìn)100輛(車齡已滿三年）該品牌二手車，求其獲得利潤(rùn)的期望值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρsin（θ）＝0．

（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線l的參數(shù)方程是（α為參數(shù)），且α∈（，π）時(shí)，直線l與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)P，求點(diǎn)P的極徑．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E，F(xiàn)分別為線段CD和上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則四邊形所圍成的圖形（如圖所示陰影部分）分別在該正方體有公共頂點(diǎn)的三個(gè)面上的正投影的面積之和（　�。�

A. 有最小值B. 有最大值C. 為定值3D. 為定值2

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