已知函數(shù)f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是奇函數(shù)，且f（1）＞0．
（Ⅰ）求實數(shù)k的值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的單調性，并用函數(shù)單調性的定義加以證明；
（Ⅲ）求不等式f（x2+2x）+f（x-4）＞0的解．
分析：（Ⅰ）利用函數(shù)的奇偶性的定義建立方程，即可求k．（Ⅱ）利用函數(shù)的單調性的定義證明．（Ⅲ）利用函數(shù)的單調性和奇偶性的性質，解不等式即可．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即k-1=0，解得k=1．
經檢驗k=1符合題意．
（Ⅱ）∵f（x）=ax-a-x，f（1）＞0，
∴f（1）=a-
1
a
＞0，
∵a＞0且a≠1，∴解得a＞1，
則函數(shù)f（x）在R上單調遞增．
用定義證明（x）在R上單調遞增．
設x1，x2是R上的任意兩個實數(shù)，且x1＜x2，
則f(x1)-f(x2)=ax1-a-x1-ax2+a-x2=ax1-ax2+
1
ax2
-
1
ax1
=ax1-ax2+
ax1-ax2
ax2ax1
=(ax1-ax2)(1+
1
ax2ax1
)，
∵a＞1，∴函數(shù)y=ax為增函數(shù)，
∴當x1＜x2時，0＜ax1＜ax2，即ax1-ax2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴函數(shù)f（x）在R上單調遞增．
（Ⅲ）∵f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，
∴不等式f（x2+2x）+f（x-4）＞0等價為f（x2+2x）＞-f（x-4）=f（4-x），
又∵f（x）在R上單調遞增．
∴x2+2x＞4-x，即x2+3x-4＞0，
解得x＞1或 x＜-4．
即不等式的解集為{x|x＞1或 x＜-4}．
點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，函數(shù)單調性的證明，以及利用函數(shù)的奇偶性和單調性解不等式，考查函數(shù)性質的綜合應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，設t=logax+logxa．
（Ⅰ）當x∈（1，a）∪（a，+∞）時，將f（x）表示成t的函數(shù)h（t），并探究函數(shù)h（t）是否有極值；
（Ⅱ）當k=4時，若對?x1∈（1，+∞），?x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），試求實數(shù)b的取值范圍．．

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已知函數(shù)f（x）=
k+1x
（k＜0），求使得f（x+k）＞1成立的x的集合．

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已知函數(shù)f（x）=k•a-x（k，a為常數(shù)，a＞0且a≠1）的圖象過點A（0，1），B（3，8）．
（1）求實數(shù)k，a的值；
（2）若函數(shù)g(x)=
f(x)-1f(x)+1
，試判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•蕪湖二模）給出以下五個命題：
①命題“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是：“?x∈R，x2+x+1＜0”．
②已知函數(shù)f（x）=k•cosx的圖象經過點P（
π
3
，1），則函數(shù)圖象上過點P的切線斜率等于-
3

③a=1是直線y=ax+1和直線y=（a-2）x-1垂直的充要條件．
④函數(shù)f(x)=(
1
2
)x-x
1
3
在區(qū)間（0，1）上存在零點．
⑤已知向量
a
=(1，-2)與向量
b
=(1，m)的夾角為銳角，那么實數(shù)m的取值范圍是（-∞，
1
2
）
其中正確命題的序號是
②③④
②③④
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（已知函數(shù)f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，設t=logax+logxa．
（Ⅰ）當x∈（1，a）∪（a，+∞）時，試將f（x）表示成t的函數(shù)h（t），并探究函數(shù)h（t）是否有極值；
（Ⅱ）當k=4時，若對任意的x1∈（1，+∞），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），試求實數(shù)b的取值范圍．．

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