Question

6．一臺(tái)機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.1，若這臺(tái)機(jī)器一周5個(gè)工作日不發(fā)生故障，可獲利5萬(wàn)元；發(fā)生1次故障仍可獲利2.5萬(wàn)元；發(fā)生2次故障的利潤(rùn)為0元；發(fā)生3次或3次以上故障要虧損1萬(wàn)元，這臺(tái)機(jī)器一周內(nèi)可能獲利的均值是多少？

Answer 1

分析 先由概率公式求出一周內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障的次數(shù)ξ的概率，由題意知ξ=0，1，2，3次及以上分別對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)是5，2.5，0，-1萬(wàn)元，由求期望的公式求出即可．

解答 解：以ξ表示一周內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障的次數(shù)，則ξ～B（5，0.1），
∴P（ξ=k）=C₅^k×0.1^k×0.9^5-k（k=0、1、…、5），
以η表示一周內(nèi)獲得的利潤(rùn)，則η=g（ξ），
而g（0）=5，g（1）=2.5，g（2）=0，g（ξ≥3）=-1
∴P（η=5）=P（ξ=0）=0.9⁵=0.59045，
P（η=2.5）=P（ξ=1）=C₅¹×0.1¹×0.9⁴=0.32085，
P（η=0）=P（ξ=2）=C₅²×0.1²×0.9³=0.0729，
P（η=-1）=P（ξ≥3）=C₅³×0.1³×0.9²+C₅⁴×0.1⁴×0.9+C₅⁵×0.1⁵=0.00856，
∴Eη=5×0.59049+2.5×0.32805-0.0856=3.764015．
這臺(tái)機(jī)器一周內(nèi)可獲利的均值是 37640.15元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差，求解的關(guān)鍵是計(jì)算出每一種利潤(rùn)所對(duì)應(yīng)的概率，熟練掌握求期望的公式也很關(guān)鍵．