Question

如圖所示，已知△ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC⊥平面ABC，AB=2，tan∠EAB=．
（1）證明：平面ACD⊥平面ADE，
（2）令A(yù)C=x，V（x） 表示三棱錐A-CBE的體積，當V（x） 取得最大值時，求直線AD與平面ACE所成角的正弦值．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形DCBE為平行四邊形，∴CD∥BE，BC∥DE
∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DC⊥BC
∵AB是圓O的直徑，∴BC⊥AC
∵DC∩AC=C，∴BC⊥平面ADC．
∵DE∥BC，
∴DE⊥平面ADC
又∵DE?平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE；
（2）∵DC⊥平面ABC，CD∥BE，∴BE⊥平面ABC
∵AB?平面ABC，∴BE⊥AB，
在Rt△ABE中，由tan∠EAB==，AB=2得BE=
在Rt△ABC中，∵BC==（0＜x＜2）
∴S_△ABC=AC•BC=
∴V（x）=V_C-ABE=V_E-ABC=S_△ABC•BE==（0＜x＜2）
∵0＜x＜2，∴≤=2
∴V（x）≤，當且僅當x²=4-x²，即x=時，V（x）取得最大值，AC=
這時△ABC為等腰直角三角形
建立如圖所示的坐標系，

C（0，0，0），A（，0，0），E（0，，），D（0，0，），=（-，0，）
設(shè)平面AEC的法向量，則，∴，∴可取=（0，-，）
設(shè)直線AD與平面ACE所成角為θ，則sinθ=cos＜＞===
故直線AD與平面ACE所成角的正弦值為
分析：（1）欲證平面ACD⊥平面ADE，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面ADE內(nèi)一直線與平面ACD垂直，而根據(jù)BC⊥平面ADC，DE∥BC，可得DE⊥平面ADC；
（2）先利用等體積法表示出三棱錐A-CBE的體積，利用基本不等式求最值，再建立空間直角坐標系，利用向量的夾角公式，即可求得直線AD與平面ACE所成角的正弦值．
點評：本題主要考查空間中的線面關(guān)系，考查面面垂直的判定及簡單組合體體積的計算，考查線面角，考查向量知識的運用，屬于中檔題．