Question

5．已知集合A=（x，y）|y=$\sqrt{{x}^{2}+2}$-lnx}，集合B={（x，y）|y=mx+n}，集合C={0，2，3}，m，n∈C，則集合D={（m，n）|A∩B≠∅}中的元素有（　�。�

• A． 5個(gè)
• B． 6個(gè)
• C． 7個(gè)
• D． 8個(gè)

Answer 1

分析 令f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+2}$-lnx，定義域?yàn)椋?，+∞），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，畫(huà)出圖象．

解答 解：令f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+2}$-lnx，定義域?yàn)椋?，+∞），
令f′（x）=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+2}}-\frac{1}{x}$=0，
得x=$\sqrt{2}$，
當(dāng)0＜x＜$\sqrt{2}$時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)x＞$\sqrt{2}$時(shí)，f′（x）＞0．
∴$f（\sqrt{2}）$是f（x）定義域（0，+∞）內(nèi)唯一的極值，且是極小值，
故$f（\sqrt{2}）$是f（x）的最小值，如圖所示．
f（$\sqrt{2}$）=2-ln$\sqrt{2}$．
∵$1＜\sqrt{2}＜e$，
∴$0＜ln\sqrt{2}＜1$，
∴$1＜f（\sqrt{2}）＜2$
分類討論：
（m，n）∈{（0，0），（0，2），（0，3），（2，0），（2，2），（2，3），（3，0），（3，2），（3，3）}．
經(jīng)過(guò)驗(yàn)證：只有（0，0）不滿足條件．
∴集合D={（m，n）|A∩B≠∅}中的元素有8個(gè)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、集合的運(yùn)算性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．