Question

15．已知f（x）=$\frac{[sin（\frac{π}{2}-x）tan（π-x）]^{2}-1}{4sin（\frac{3π}{2}+x）+cos（π-x）+cos（2π-x）}$
（1）求f（-1860°）；
（2）若方程f²（x）+（1+$\frac{1}{2}$a）sinx+2a=0在x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{3π}{4}$]上有兩根，求實(shí)數(shù)a的范圍．
（3）求函數(shù)y=4af²（x）+2cosx（a∈R）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=$-\frac{1}{2}sinx$，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式即可求得f（-1860°）的值；
（2）由（1）化簡(jiǎn)可得（sinx+4）（sinx+2a）=0，求得sinx=-2a，由x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{3π}{4}$]時(shí)，可得$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤-2a＜1，即可解得a的取值范圍．
（3）把確定出的f（x）解析式代入函數(shù)解析式中整理，分a=0，a＞0與a＜0三種情況求出y的最大值即可．

解答 （本題滿分為16分）
解：（1）∵f（x）=$\frac{[sin（\frac{π}{2}-x）tan（π-x）]^{2}-1}{4sin（\frac{3π}{2}+x）+cos（π-x）+cos（2π-x）}$=$-\frac{1}{2}sinx$，（2分）
∴$f（-{1860°}）=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$…（4分）
（2）∵f²（x）+（1+$\frac{1}{2}$a）sinx+2a=0，
即$\frac{1}{4}$sin²x+（1+$\frac{1}{2}$a）sinx+2a=0，
整理得，sin²x+（4+2a）sinx+8a=0，即（sinx+4）（sinx+2a）=0，
∴sinx=-2a，…（7分）
當(dāng)x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{3π}{4}$]時(shí)，sinx∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤-2a＜1，解得-$\frac{1}{2}$＜a≤-$\frac{\sqrt{2}}{4}$…（10分）
（3）y=-acos²x+2cosx+a，
1^°當(dāng)a=0時(shí)，y=2cosx，y_max=2；
2°令cosx=t，則y=-at²+2t+a，t∈[-1，1]，…（12分）
當(dāng)a＞0時(shí)，-a＜0，對(duì)稱軸為$t=\frac{1}{a}$，
①若$\frac{1}{a}＞1$，即0＜a＜1時(shí)，y_max=-a+2+a=2；
②若$0＜\frac{1}{a}≤1$，即a≥1時(shí)，${y_{max}}=-a{（\frac{1}{a}）^2}+2（\frac{1}{a}）+a=a+\frac{1}{a}$；…（14分）
3°當(dāng)a＜0時(shí)，-a＞0，對(duì)稱軸$t=\frac{1}{a}＜0$，y_max=-a+2+a=2，
綜上所述，當(dāng)a＜1時(shí)，y_max=2，當(dāng)a≥1時(shí)，${y_{max}}=a+\frac{1}{a}$．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 此題考查了運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，以及三角函數(shù)的最值，熟練掌握誘導(dǎo)公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．