Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=22，a_n+1-a_n=2n，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為

 

，

an

n

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：先對(duì)數(shù)列的遞推關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即a_n=a_n-1+2（n-1）=[a_n-2+2（n-2）]+2（n-1）=a_n-3+2（n-3）+2（n-2）+2（n-1）=…，一步步向前推即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；再利用求出的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，直接代入

an

n

利用基本不等式即可求

an

n

的最小值．（注意n為正整數(shù)）．

解答：解：由a_n+1-a_n=2n得，
a_n=a_n-1+2（n-1）
=[a_n-2+2（n-2）]+2（n-1）
=a_n-3+2（n-3）+2（n-2）+2（n-1）
=…
=a₁+2×1+2×2+…+2（n-1）
=22+2×

[1+(n-1)](n-1)

2

=n²-n+22．
所以

an

n

=n+

22

n

-1
≥2

n• 22 n

-1，等號(hào)成立時(shí)n=

22

n

?n=

22

，
又因?yàn)閚為正整數(shù)，故n=5，
此時(shí)

an

n

=5+

22

5

-1=

42

5

．
故答案為：n²-n+22，

42

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用和等差數(shù)列的求和公式以及基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)較多，但都是基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中檔題目．本題的易錯(cuò)點(diǎn)在于n為正整數(shù)這一限制條件的應(yīng)用．