Question

（2012•�？谀�擬）四棱錐A-BCDE的正視圖和俯視圖如下，其中正視圖是等邊三角形，俯視圖是直角梯形．
（I）若F為AC的中點，當點M在棱AD上移動時，是否總有BF丄CM，請說明理由．
（II）求三棱錐的高．

Answer 1

分析：（Ⅰ）總有BF丄CM．取BC的中點O，連接AO，由AO⊥平面BCDE，可得AO⊥CD，可證CD⊥面ABC，有CD⊥BF，根據F是AC的中點，可得BF⊥AC，從而可得BF⊥面ACD，進而可得BF丄CM；
（Ⅱ）先計算V_A-CDE=

1

3

S△CDE×AO=

1

3

×2×

3

=

2 3

3

，設三棱錐C-ADE的高為h，再計算V_C-ADE=

6

3

h，利用V_A-CDEV=_C-ADE，即可求得三棱錐C-ADE的高．

解答：解：（Ⅰ）總有BF丄CM．理由如下：
取BC的中點O，連接AO，
由俯視圖可知，AO⊥平面BCDE，CD?平面BCDE，
所以AO⊥CD                …（2分）
又CD⊥BC，AO∩BC=O，所以CD⊥面ABC，
因為BF?面ABC，
故CD⊥BF．
因為F是AC的中點，所以BF⊥AC．…（4分）
又AC∩CD=D
故BF⊥面ACD，
因為CM?面ACD，所以BF丄CM．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AO⊥平面BCDE，S△CDE=

1

2

×CD×BC=2，
又在正△ABC中，AO=

3

，
所V_A-CDE=

1

3

S△CDE×AO=

1

3

×2×

3

=

2 3

3

，…（8分）
在直角△ABE中，AE=

5

，
在直角梯形BCDE中，DE=

5

，
在直角△ACD中，AD=2

2

，
在△ADE中，S_△ADE=

1

2

AD×

DE2-( 1 2 AD)2

=

1

2

×2

2

×

3

=

6

，…（10分）
設三棱錐C-ADE的高為h，則V_C-ADE=

6

3

h，
又V_A-CDEV=_C-ADE，
可得

6

3

h=

2 3

3

，解得h=

2

．
所以，三棱錐C-ADE的高為

2

．…（12分）

點評：本題考查線面垂直，考查三棱錐體積的計算，掌握線面垂直的判定，正確計算體積是關鍵．