Question

9．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若g（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導數(shù)f′（x），判斷導數(shù)f′（x）的符號即可；
（Ⅱ）由g（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，知對?x∈（0，+∞），g'（x）≥0成立，分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），且f′（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，…1分
①當a≥0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；…2分
②當a＜0時，由f′（x）＞0，得x＞-a；由f′（x）＜0，得x＜-a；
故f（x）在（0，-a）上單調(diào)遞減，在（-a，+∞）上單調(diào)遞增．…4分
（Ⅱ）g（x）=ax-$\frac{a}{x}$-5lnx，g（x）的定義域為（0，+∞），
g′（x）=$\frac{{ax}^{2}-5x+a}{{x}^{2}}$…5分
因為g（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以?x∈（0，+∞），g（x）≥0，
即ax2-5x+a≥0，則a≥$\frac{5x}{{x}^{2}+1}$，
而$\frac{5x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{5}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{5}{2}$，當且僅當x=1時取等號，所以a≥$\frac{5}{2}$…8分．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題，導數(shù)的符號決定函數(shù)的增減．