Question

已知函數(shù)f（x）=blnx，g（x）=ax²-x（a∈R）．
（1）若曲線f（x）與g（x）在公共點(diǎn)A（1，0）處有相同的切線，求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）在（1）的條件下，證明f（x）≤g（x）在（0，+∞）上恒成立；
（3）若a=1，b＞2e，求方程f（x）-g（x）=x在區(qū)間（1，e^b）內(nèi)實(shí)根的個數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=blnx，g（x）=ax²-x（a∈R），
∴，g'（x）=2ax-1． …（2分）
∵曲線f（x）與g（x）在公共點(diǎn)A（1，0）處有相同的切線，
∴，解得．…（4分）
（2）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=lnx-（x²-x），x＞0
則，…（5分）
∴當(dāng)x＞1時，y＜0；當(dāng)-＜x＜0時，y＜0；當(dāng)0＜x＜1時，y＞0；當(dāng)x＜-時，y＞0．
∴F（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．…（7分）
∴F（x）最大值為F（1）=ln1-（1-1）=0．
∴F（x）=f（x）-g（x）≤0，即f（x）≤g（x）．…（8分）
（3）∵f（x）=blnx，g（x）=ax²-x，a=1，b＞2e
∴f（x）-g（x）=x轉(zhuǎn)化為blnx-x²=0，
令G（x）=blnx-x²，則，
由=0，得x=，
∵x∈（1，e^b）且b＞2e，
∴，e^b＞，
∴由G′（x）＞0得1＜x＜，由G′（x）＜0，得，
∴G（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
∴當(dāng)x=時，，…（10分）
∵b＞2e，∴，∴，∴
又∵G（1）=-1＜0G（e^b）=blne^b-e^2b=b²-e^2b=（b+e^b）（b-e^b）＜0，
∴方程f（x）-g（x）=x在區(qū)間（1，e^b）內(nèi)有兩個實(shí)根．…（12分）
分析：（1）由，g'（x）=2ax-1，利用曲線f（x）與g（x）在公共點(diǎn)A（1，0）處有相同的切線，能求出實(shí)數(shù)a、b的值．
（2）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=lnx-（x²-x），x＞0，則，由此推導(dǎo)出F（x）最大值為F（1）=0．從而能夠證明f（x）≤g（x）．
（3）由f（x）=blnx，g（x）=ax²-x，a=1，b＞2e，知f（x）-g（x）=x轉(zhuǎn)化為blnx-x²=0，令G（x）=blnx-x²，則，由此能夠推導(dǎo)出方程f（x）-g（x）=x在區(qū)間（1，e^b）內(nèi)有兩個實(shí)根．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，考查不等式恒成立的證明，考查方程的實(shí)根個數(shù)的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．