Question

3．已知$\overrightarrow{a}$=（-2$\sqrt{3}$，2），$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為120°，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-4．
（1）求|$\overrightarrow$|；
（2）若$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow$+y$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$，|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{2}$，求$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$的夾角．

Answer 1

分析 （1）運用向量的數(shù)量積的定義，代入數(shù)據(jù)，即可得到|$\overrightarrow$|=2；
（2）由$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow$+y$\overrightarrow{c}$，兩邊分別點乘$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow$，結(jié)合數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，解方程即可得到所求向量的夾角．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{a}$=（-2$\sqrt{3}$，2），$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為120°，
則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|•cos120°=4|$\overrightarrow$|•（-$\frac{1}{2}$）=-4，
解得|$\overrightarrow$|=2；
（2）由$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow$+y$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$，|$\overrightarrow{c}$|=2$\sqrt{2}$，
且|$\overrightarrow{a}$|=4，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-4，
可得$\overrightarrow{a}$²=x$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+y$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，即為16=-4x+0，
解得x=-4，
又$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$+y$\overrightarrow{c}$²，即-4•2•2$\sqrt{2}$cos＜$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$＞+8y=0，
即為y=2$\sqrt{2}$cos＜$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$＞，
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=x$\overrightarrow$²+y$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$，即為-4=-16+y•2•2$\sqrt{2}$cos＜$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$＞，
即有cos＜$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$＞=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$＞≤π，可得$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$的夾角為$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．

點評 本題考查向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，注意運用兩邊點乘向量，考查運算能力，屬于中檔題．