分析 (1)利用三角形的面積公式,即可求得ab=8,由a+b=6,即可求得a和b的值,求得橢圓方程;
(2)設(shè)直線PQ的方程,代入橢圓方程,由韋達定理,及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,求得m2k2+1=165,利用點到直線的距離公式求得d=丨m丨√1+k2=4√55,則1|OP|2+1|OQ|2=丨PQ丨2丨PQ丨2•iuiwa4u2=1o22ggkq2=516,為定值.
解答 解:(1)S△OAB=12ab=4,則ab=8,
由a+b=6,則a=4,b=2,
∴橢圓方程為x216+y24=1;
(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則→OP=(x1,y1),→OQ=(x2,y2),
由OP⊥OQ,
設(shè)PQ方程為:y=kx+m,
{y=kx+mx216+y24=1,整理得:(4k2+1)x2+8kmx+4m2-16=0,
x1+x2=8km4k2+1,x1x2=4k2−164k2+1,
則y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,
∴(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,
則(k2+1)×4k2−164k2+1+km(8km4k2+1)+m2=0,
整理得:m2k2+1=165,
即d=丨m丨√1+k2=4√55,
∴1|OP|2+1|OQ|2=丨OP丨2+丨OQ丨2丨OP丨2•丨OQ丨2=丨PQ丨2丨PQ丨2•w2244s42=1g4oka4y2=516,
綜上所述,1|OP|2+1|OQ|2為定值.
點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達定理,向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,考查計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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A. | (-1,+∞) | B. | (-∞,-1) | C. | [-1,+∞) | D. | (-∞,-1] |
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