Processing math: 80%
7.已知直線l與橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)相交于A(a,0),B(0,b)兩點,O為坐標(biāo)原點,S△OAB=4,且a+b=6.
(1)求橢圓的方程;
(2)若橢圓C上有P,Q兩動點,且OP⊥OQ,求證:1|OP|2+1|OQ|2為定值.

分析 (1)利用三角形的面積公式,即可求得ab=8,由a+b=6,即可求得a和b的值,求得橢圓方程;
(2)設(shè)直線PQ的方程,代入橢圓方程,由韋達定理,及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,求得m2k2+1=165,利用點到直線的距離公式求得d=m1+k2=455,則1|OP|2+1|OQ|2=PQ2PQ2iuiwa4u2=1o22ggkq2=516,為定值.

解答 解:(1)S△OAB=12ab=4,則ab=8,
由a+b=6,則a=4,b=2,
∴橢圓方程為x216+y24=1;
(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則OP=(x1,y1),OQ=(x2,y2),
由OP⊥OQ,
設(shè)PQ方程為:y=kx+m,
{y=kx+mx216+y24=1,整理得:(4k2+1)x2+8kmx+4m2-16=0,
x1+x2=8km4k2+1,x1x2=4k2164k2+1,
則y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,
∴(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,
則(k2+1)×4k2164k2+1+km(8km4k2+1)+m2=0,
整理得:m2k2+1=165,
即d=m1+k2=455
1|OP|2+1|OQ|2=OP2+OQ2OP2OQ2=PQ2PQ2w2244s42=1g4oka4y2=516,
綜上所述,1|OP|2+1|OQ|2為定值.

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達定理,向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,考查計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

9.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn+n=2an(n∈N*).
(1)證明:數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若bn=an+2n+1,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

10.已知e是自然對數(shù)的底數(shù),若函數(shù)f(x)=ex-x+a的圖象始終在x軸的上方,則實數(shù)a的取值范圍( �。�
A.(-1,+∞)B.(-∞,-1)C.[-1,+∞)D.(-∞,-1]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

7.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,0≤ϕ≤\frac{π}{2})的圖象過點M(0,\frac{1}{2}),最小正周期為\frac{2π}{3},且最小值為-1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在區(qū)間[\frac{π}{18},\frac{5π}{9}]上的單調(diào)區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.已知關(guān)于x的不等式kx2-2x+6k<0(k≠0)
(1)若不等式的解集是{x|x<-3或x>-2},求k的值;
(2)若不等式的解集是R,求k的取值范圍;
(3)若不等式的解集為∅,求k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

12.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( �。�
A.18+8πB.24+8πC.18+16πD.24+16π

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

19.異面直線a與b所成的角為50°,P為空間一點,則過P點且與a,b所成的角都是50°的直線有2條.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

16.在△ABC中,已知AB=4,且tanAtanB=\frac{3}{4},則△ABC的面積的最大值為2\sqrt{3}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

17.函數(shù)y=2sin2x-3sinx+1,x∈[\frac{π}{6},\frac{5π}{6}]的值域為[-\frac{1}{8},0].

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案