Question

7．已知直線l與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）相交于A（a，0），B（0，b）兩點，O為坐標原點，S_△OAB=4，且a+b=6．
（1）求橢圓的方程；
（2）若橢圓C上有P，Q兩動點，且OP⊥OQ，求證：$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$為定值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的面積公式，即可求得ab=8，由a+b=6，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）設(shè)直線PQ的方程，代入橢圓方程，由韋達定理，及向量數(shù)量積的坐標運算，求得$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}+1}$=$\frac{16}{5}$，利用點到直線的距離公式求得d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，則$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{丨PQ{丨}^{2}}{丨PQ{丨}^{2}•wkenncz^{2}}$=$\frac{1}{uopyglj^{2}}$=$\frac{5}{16}$，為定值．

解答 解：（1）S_△OAB=$\frac{1}{2}$ab=4，則ab=8，
由a+b=6，則a=4，b=2，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則$\overrightarrow{OP}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{OQ}$=（x₂，y₂），
由OP⊥OQ，
設(shè)PQ方程為：y=kx+m，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+1）x²+8kmx+4m²-16=0，
x₁+x₂=$\frac{8km}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-16}{4{k}^{2}+1}$，
則y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
∴（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
則（k²+1）×$\frac{4{k}^{2}-16}{4{k}^{2}+1}$+km（$\frac{8km}{4{k}^{2}+1}$）+m²=0，
整理得：$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}+1}$=$\frac{16}{5}$，
即d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{丨OP{丨}^{2}+丨OQ{丨}^{2}}{丨OP{丨}^{2}•丨OQ{丨}^{2}}$=$\frac{丨PQ{丨}^{2}}{丨PQ{丨}^{2}•mxvtmgp^{2}}$=$\frac{1}{nenljwu^{2}}$=$\frac{5}{16}$，
綜上所述，$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$為定值．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，向量數(shù)量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．