Question

某單位要建造如圖所示的倉(cāng)庫(kù)，倉(cāng)庫(kù)下方是半徑為r（m），高為l（m）的圓柱，上方是半球形．按照設(shè)計(jì)，倉(cāng)庫(kù)的體積為定值V（m³）．假設(shè)該倉(cāng)庫(kù)的建造費(fèi)用僅與表面積有關(guān)，圓柱側(cè)面部分每平方米的造價(jià)為c元，半球面部分每平方米的造價(jià)為2c元，倉(cāng)庫(kù)總的建造費(fèi)用為y元．
（1）寫出y與r的函數(shù)關(guān)系；
（2）怎樣設(shè)計(jì)倉(cāng)庫(kù)，才能使總的建造費(fèi)用最��？

Answer 1

分析：（1）把半球面的面積用半徑r表示出來(lái)，由半球的體積與圓柱的體積和等于V得到圓柱的高與底面半徑的關(guān)系，從而用r表示l，最后把倉(cāng)庫(kù)的表面積用含有r的代數(shù)式表示，得到建造費(fèi)用關(guān)于r的函數(shù)；
（2）利用導(dǎo)函數(shù)求極值，也就是最值，同時(shí)注意要有實(shí)際意義．

解答：解：（1）半球面部分面積為2πr²，
由題意得為πr2l+

2

3

πr3=V，∴l(xiāng)=

V- 2 3 πr3

πr2

．
圓柱側(cè)面部分面積為2πrl=2πr•

V- 2 3 πr3

πr2

=

2V

r

-

4

3

πr2，
所以建造費(fèi)用y=2c•2πr2+c(

2V

r

-

4

3

πr2)=2c(

V

r

+

4

3

πr2) （r＞0）．
（2）y′=2c(-

V

r2

+

8

3

πr)．
令y^′=0得-

V

r2

+

8

3

πr=0，∴r=

3	3V 8π

．
所以，當(dāng)倉(cāng)庫(kù)的半徑r=

3	3V 8π

時(shí)，總的建造費(fèi)用最少．

點(diǎn)評(píng)：本題是根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)模型題，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，解決實(shí)際問題時(shí)要注意函數(shù)的定義域要有實(shí)際意義，此題是中檔題．