Question

如圖：AD=2，AB=4的長方形ABCD所在平面與正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分別為PC，AD的中點．
（1）求證：PA∥平面MBD；
（2）試問：在線段AB上是否存在一點N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，試指出點N的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）連結AC交BD于O點，連結OM，可得OM是△PAC的中位線，可得PA∥OM，利用線面平行判定定理，即可證出PA∥平面MBD；
（2）正△PAD中，Q為AD的中點，故PQ⊥AD，利用面面垂直的性質定理，證出等邊△PAD的高PQ⊥底面ABCD，從而得出CN⊥PQ，根據(jù)線面垂直的判定證出CN⊥平面PQB，從而得到平面PCN⊥平面PQB．由此可得在線段AB上存在AB的中點N，使得平面PCN⊥平面PQB．

解答： 解：（1）連AC交BD于O，連MO則O為AC中點，因為M為PC中點，
所以MO∥AP，又AP?平面MBD，MO?平面MBD，則AP∥平面MBD．
（2）當BN=

1

2

時，平面PCN⊥平面PQB．
證明如下：正△PAD中，Q為AD的中點，故PQ⊥AD
∵側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PQ⊥底面ABCD，
又CN?平面ABCD，則PQ⊥CN
又因為長方形ABCD中，由相似三角形得，則CN⊥BQ，
∴CN⊥平面PQB，
又∵CN?平面PCN，
所以，平面PCN⊥平面PQB．

點評：本題在四棱錐中證明線面平行、并探索面面垂直的存在性．著重考查了線面垂直的判定與性質、面面垂直的判定與性質和線面平行判定定理等知識，屬于中檔題．