Question

過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若

1

|AF|

-

1

|BF|

=

1

2

，則直線l的傾斜角θ(0＜θ＜

π

2

)等于

π

3

．

Answer 1

分析：設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），F(xiàn)（1，0）則可得直線AB的方程為y=k（x-1）
聯(lián)立方程

y=k(x-1) y2=4x

，而

1

AF

-

1

BF

=

1

x1+1

-

1

x2+1

=

x2-x1

x1x2+(x1+x2)+1

，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可求k，結(jié)合θ∈(0，

π

2

) 可求

解答：解：由題意可得直線AB的斜率K存在
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），F(xiàn)（1，0）則可得直線AB的方程為y=k（x-1）
聯(lián)立方程

y=k(x-1) y2=4x

整理可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
∴x1+x2=

4

k2

+2，x₁x₂=1
∴x2-x1= 

(x1+x2)2-4x1x2

=

16 k2 + 16 k4

=4 

1+k2

k2

∵

1

AF

-

1

BF

=

1

x1+1

-

1

x2+1

=

x2-x1

x1x2+(x1+x2)+1

=

1+k2

1+k2

=

1

2

∴k=

3

或k=-

3

∵θ∈(0，

π

2

)∴k=

3

，θ=

π

3

故答案為：

π

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線y²=2px（p＞0）的焦半徑公式PF=x+

p

2

的應(yīng)用及直線與拋物線相交關(guān)系中方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用．