Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0）．

（Ⅰ）（i）若b=﹣2，且f（x）在（1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（ii）若b=﹣1，c=1，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，|f（x）|的最大值為1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（Ⅱ）若f（0）≥1，f（1）≥1，f（x）=0的有兩個(gè)小于1的不等正根，求a的最小正整數(shù)值．

 

Answer 1

（Ⅰ）（i）[1，+∞）；（ii）（0，1]；（Ⅱ）5

【解析】

試題分析：（Ⅰ）（i）若b=﹣2，則f（x）=ax2﹣2x+c（a＞0）的圖象是開口朝上且以直線x=為對(duì)稱軸的拋物線．若f（x）在（1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù),則≤1,解得a≥1,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）;（ii）若b=﹣1，c=1，則f（x）=ax2﹣x+1（a＞0）的圖象是開口朝上且以直線x=為對(duì)稱軸的拋物線,若當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，|f（x）|的最大值為1，則或解得0＜a＜，或≤a≤1,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，1]；（Ⅱ）若f（0）≥1，f（1）≥1，f（x）=0的有兩個(gè)小于1的不等正根，則

解得a＞4，故a的最小正整數(shù)值為5.

試題解析：（Ⅰ）（i）若b=﹣2，

則f（x）=ax2﹣2x+c（a＞0）的圖象是開口朝上且以直線x=為對(duì)稱軸的拋物線．

若f（x）在（1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，則≤1，解得a≥1，

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）

（ii）若b=﹣1，c=1，

則f（x）=ax2﹣x+1（a＞0）的圖象是開口朝上且以直線x=為對(duì)稱軸的拋物線．

若當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，|f（x）|的最大值為1，

則或，

解得0＜a＜，或≤a≤1

綜上所述：0＜a≤1

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，1]

（Ⅱ）若f（0）≥1，f（1）≥1，f（x）=0的有兩個(gè)小于1的不等正根，

則

由b2＞4ac＞4a（1﹣a﹣b）得：

b2+4ab+4a2=（b+2a）2＞4a，

即b+2a＞2，

即b＞2﹣2a，…①

由b2＞4ac≥4a得：

b＜﹣2…②

由①②得：

2﹣2a＜﹣2，

解得a＞4，

故a的最小正整數(shù)值為5．

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì);2.不等式的性質(zhì)