Question

（2013•東城區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=mlnx+（m-1）x（m∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)m=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)m=2時求出導(dǎo)數(shù)f′（x），則切線斜率k=f′（1），f（1）=1，利用點斜式即可求得切線方程；
（Ⅱ）先求出函數(shù)定義域，在定義域內(nèi)分m≤0，m≥1，0＜m＜1三種情況解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（ III）分情況進行討論：當(dāng)m≤0或m≥1時f（x）單調(diào)，最值情況易判斷；當(dāng)0＜m＜1時，由單調(diào)性易求得其最大值，令其大于0，解出即可；

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)m=2時，f（x）=2lnx+x．f′(x)=

2

x

+1=

x+2

x

．
所以f'（1）=3．
又f（1）=1，
所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是y-1=3（x-1），即3x-y-2=0．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=

m

x

+m-1=

(m-1)x+m

x

．
當(dāng)m≤0時，由x＞0知f′(x)=

m

x

+m-1＜0恒成立，
此時f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減．
當(dāng)m≥1時，由x＞0知f′(x)=

m

x

+m-1＞0恒成立，
此時f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)0＜m＜1時，由f'（x）＞0，得x＜

m

1-m

，由f'（x）＜0，得x＞

m

1-m

，
此時f（x）在區(qū)間(0，

m

1-m

)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(

m

1-m

，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減．
（ III）由（Ⅱ）知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
當(dāng)m≤0或m≥1時，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)，此時函數(shù)f（x）無最大值．
當(dāng)0＜m＜1時，f（x）在區(qū)間(0，

m

1-m

)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(

m

1-m

，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)0＜m＜1時函數(shù)f（x）有最大值，最大值M=f(

m

1-m

)=mln

m

1-m

-m．
因為M＞0，所以有mln

m

1-m

-m＞0，解之得m＞

e

1+e

．
所以m的取值范圍是(

e

1+e

，1)．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及切線問題，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬中檔題．