Question

已知函數(shù)f(x)=

a+lnx

x

(a∈R)．
（Ⅰ）若a=4，求曲線f（x）在點（e，f（e））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的極值；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=1的圖象在區(qū)間（0，e²]上有公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求直線方程一般用點斜式，本題中已知切點，故可以根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出該點的導(dǎo)數(shù)值，即得曲線在此點處的切線的斜率，然后用點斜式寫出切線方程即可
（Ⅱ）求出函數(shù)f(x)=

a+lnx

x

(a∈R)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0解出增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，解出函數(shù)的減區(qū)間，然后由極值判斷規(guī)則確定出極值即可．
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=1的圖象在區(qū)間（0，e²]上有公共點，即在區(qū)間（0，e²]上，函數(shù)f（x）存在自變量取某個值時，函數(shù)值等于1，故問題可以轉(zhuǎn)化為求出函數(shù)f（x）最值，保證函數(shù)的最大值大于等于1，最小值小于等于1即可得到關(guān)于參數(shù)a的不等式，解之即得．

解答：解：（Ⅰ）∵a=4，
∴f(x)=

lnx+4

x

且f(e)=

5

e

．（1分）
又∵f′(x)=

(lnx+4)′x-(lnx+4)x′

x2

=

-3-lnx

x2

，
∴f′(e)=

-3-lne

e2

=-

4

e2

．（3分）
∴f（x）在點（e，f（e））處的切線方程為：y-

5

e

=-

4

e2

(x-e)，
即4x+e²y-9e=0．（4分）
（Ⅱ）f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=

1-(lnx+a)

x2

，（5分）
令f'（x）=0得x=e^1-a．
當(dāng)x∈（0，e^1-a）時，f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（e^1-a，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；（7分）
∴f（x）在x=e^1-a處取得極大值，即f（x）_極大值=f（e^1-a）=e^a-1．（8分）
（Ⅲ）（i）當(dāng)e^1-a＜e²，即a＞-1時，
由（Ⅱ）知f（x）在（0，e^1-a）上是增函數(shù)，在（e^1-a，e²]上是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=e^1-a時，f（x）取得最大值，即f（x）_max=e^a-1．
又當(dāng)x=e^-a時，f（x）=0，當(dāng)x∈（0，e^-a]時，f（x）＜0，
當(dāng)x∈（e^-a，e²]時，f（x）∈（0，e^a-1]，
所以，f（x）的圖象與g（x）=1的圖象在（0，e²]上有公共點，
等價于e^a-1≥1，解得a≥1，
又因為a＞-1，所以a≥1．（11分）
（ii）當(dāng)e^1-a≥e²，即a≤-1時，f（x）在（0，e²]上是增函數(shù)，
∴f（x）在（0，e²]上的最大值為f(e2)=

2+a

e2

，
∴原問題等價于

2+a

e2

≥1，解得a≥e²-2，
又∵a≤-1∴無解
綜上，a的取值范圍是a≥1．（14分）

點評：本題考點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值，考查了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及借助單調(diào)性確定函數(shù)的極值、最值的位置，解決與極值、最值有關(guān)的一些問題，本題綜合性較強(qiáng)，涉及到的知識與運算規(guī)則較多，題目難度較大，做題時要注意體會本題的這些特點．