Question

已知復數(shù)z的輻角為60°，且|z-1|是|z|和|z-2|的等比中項．求|z|．

Answer 1

分析：本題考查的復數(shù)的基本概念及等比數(shù)列的性質(zhì)，由復數(shù)z的輻角為60°，我們可以使用待定系數(shù)法設出復數(shù)Z，然后根據(jù)|z-1|是|z|和|z-2|的等比中項，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)構(gòu)造方程，解方程求出待定的系數(shù)，即可得到Z值，進而求出復數(shù)的模．

解答：解：設z=（rcos60°+rsin60°），
則復數(shù)z的實部為

r

2

．z-

.

z

=r，z

.

z

=r2
由題設|z-1|²=|z|•|z-2|，
即：（z-1）（

.

z

-1）=|z|

(z-2)(  . z -2)

∴r²-r+1=r

r2-2r+4

，
整理得r²+2r-1=0．
解得r=

2

-1，
r=-

2

-1（舍去）．
即|z|=

2

-1．

點評：解決復數(shù)問題時，我們多使用待定系數(shù)法，即設出復數(shù)的值，然后根據(jù)題目中的其它條件，列出方程，解方程求出系數(shù)，即可得到未知復數(shù)的值．