Question

12．已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}$=1（c＞0）的離心率為e，右焦點為（c，0）．
（1）若橢圓M的焦點為F₁，F(xiàn)₂，且|F₁F₂|=4$\sqrt{3}$e，P為M上一點，求|PF₁|+|PF₂|的值．
（2）如圖所示，A是橢圓M上一點，且A在第二象限，A與B關于原點對稱，C在x軸上，且AC與x軸垂直，若$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=-4，△ABC的面積為4，直線BC與M交于另一點D，求線段BD的中點坐標．

Answer 1

分析 （1）由橢圓方程可得a=$\sqrt{2}$c，b=c，求得離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由|F₁F₂|=4$\sqrt{3}$e，可得c=$\sqrt{6}$，即有2a=2$\sqrt{2}$c=4$\sqrt{3}$，再由橢圓的定義，即可得到所求值；
（2）設A（x₁，y₁）（x₁＜0，y₁＞0），B（-x₁，-y₁），C（x₁，0），求得向量CA，CB的坐標，運用向量的數(shù)量積的坐標表示，解得y₁，再由三角形的面積公式，求得x₁，可得A的坐標，代入橢圓方程，進而得到橢圓方程，再由直線BC的方程聯(lián)立橢圓方程，運用韋達定理和中點坐標公式，計算即可得到所求點的坐標．

解答 解：（1）橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}$=1的a=$\sqrt{2}$c，b=c，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由|F₁F₂|=4$\sqrt{3}$e=2$\sqrt{6}$，即2c=2$\sqrt{6}$，
可得c=$\sqrt{6}$，即有2a=2$\sqrt{2}$c=4$\sqrt{3}$，
由橢圓的定義可得，|PF₁|+|PF₂|=2a=4$\sqrt{3}$；
（2）設A（x₁，y₁）（x₁＜0，y₁＞0），B（-x₁，-y₁），C（x₁，0），
$\overrightarrow{CA}$=（0，y₁），$\overrightarrow{CB}$=（-2x₁，-y₁），$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=-y₁²=-4，
可得y₁=2，
又S_△ABC=$\frac{1}{2}$|y₁|•|2x₁|=4，解得x₁=-2，即A（-2，2），
由A在M上，即有$\frac{4}{2{c}^{2}}$+$\frac{4}{{c}^{2}}$=1，解得c=$\sqrt{6}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1，
B（2，-2），C（-2，0），
BC：y=-$\frac{1}{2}$（x+2），與M方程聯(lián)立，可得3x²+4x-20=0，
即有x_B+x_D=-$\frac{4}{3}$，設中點為N（x，y），
則x=$\frac{{x}_{B}+{x}_{D}}{2}$=-$\frac{2}{3}$，y=-$\frac{1}{2}$×（-$\frac{2}{3}$+2）=-$\frac{2}{3}$，
即有N（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{2}{3}$）．

點評 本題考查橢圓的定義、方程和性質，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和中點坐標公式，同時考查向量的數(shù)量積的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題．