正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1的中點．
（1）求證：平面A1BC1∥平面ACD1；
（2）求異面直線A1F與D1E所成的角的余弦值．
證明：（1）如圖，
連結(jié)AC，AD1，CD1，A1C1，A1B，C1B．
∵ABCD-A1B1C1D1是正方體，∴AA1∥CC1，AA1=CC1，
∴四邊形AA1C1C為平行四邊形，∴A1C1∥AC．
A1C1?平面ACD1，AC?平面ACD1，∴A1C1∥平面ACD1；
∵A1D1∥BC，A1D1=BC，∴四邊形A1BCD1為平行四邊形，∴A1B∥CD1．
A1B?平面ACD1，CD1?平面ACD1，∴A1B∥?平面ACD1，
又A1B∩A1C1=A1，
∴平面A1BC1∥平面ACD1；
（2）連結(jié)C1F，∵E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1的中點，∴EF∥C1D1，EF=C1D1
∴EFC1D1是平行四邊形，∴D1F∥C1E．
設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，解直角三角形求得A1C1=2
2
，A1F=C1F=
5
．
在△A1C1F中，由余弦定理得cos∠A1FC1=
A1F2+C1F2-A1C12
2A1F•C1F
=
(
5
)2+(
5
)2-(2
2
)2
2×
5
×
5
=
1
5
．
∴異面直線A1F與D1E所成的角的余弦值是
1
5
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1，D，E，F(xiàn)分別為AB1，CC1，BC的中點．
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求證：B1F⊥平面AEF．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°、邊長為a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，點M、N分別是棱AD、PC的中點．
（1）證明：DN∥平面PMB；
（2）證明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求點A到平面PMB的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

若將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折成一個直二面角，且EA⊥平面ABD，AE=a（如圖）．
（Ⅰ）若a=2
2
，求證：AB∥平面CDE；
（Ⅱ）求實數(shù)a的值，使得二面角A-EC-D的大小為60°．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（文科做）已知平面α∥面β，AB、CD為異面線段，AB?α，CD?β，且AB=a，CD=b，AB與CD所成的角為θ，平面γ∥面α，且平面γ與AC、BC、BD、AD分別相交于點M、N、P、Q．
（1）若a=b，求截面四邊形MNPQ的周長；
（2）求截面四邊形MNPQ面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分別是A1D1、D1D、D1C1的中點．
求證：平面EFG∥平面AB1C．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

直三棱柱ABC-A1B1C1的底面中，AB⊥AC，AB=AC=a，D為CC1的中點，
CC1
AC
=λ
（1）λ為何值時，A1D⊥平面ABD；
（2）當(dāng)A1D⊥平面ABD時，求C1到平面ABD的距離；
（3）當(dāng)二面角A-BD-C為60°時，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是側(cè)棱BB1的中點．
（I）求證：直線AE⊥平面A1D1E；
（II）求三棱錐A-A1D1E的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四面體ABCD中，O、E分別為BD、BC的中點，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=
2
．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值．

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