Question

【題目】已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)在區(qū)間的最大值為且最小值為，求的取值范圍.

參考數(shù)據(jù)：.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，因?yàn)?/span>，所以，令，對(duì)其求導(dǎo)利用分類(lèi)討論參數(shù)的取值范圍進(jìn)而研究的單調(diào)性，其中當(dāng)，單調(diào)性唯一，滿(mǎn)足條件，當(dāng)，導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn)，原函數(shù)由極值點(diǎn)不滿(mǎn)足條件，綜上得答案；

（2）由（1）可知的單調(diào)性，利用分類(lèi)討論當(dāng)，在上單調(diào)遞增，即可表示M，m，從而表示，視為關(guān)于的函數(shù)，可求得值域，同理當(dāng)時(shí)，可求得的值域，比較兩類(lèi)結(jié)果的范圍，求得并集，即為答案.

（1）因?yàn)楹瘮?shù)，求導(dǎo)得，

令，

則，則在上單調(diào)遞增，

①.若，則，則在上單調(diào)遞增，

②.若，則，則，則在上單調(diào)遞減；

③.若，則，又因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理知：存在唯一實(shí)數(shù)，使得，

此時(shí)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)，矛盾.

綜上，

（2）由（1）可知，，，

①.若，則在上單調(diào)遞增，則，，

則是關(guān)于的減函數(shù)，故；

②.若， 則在上單調(diào)遞減，則，而；

則是關(guān)于的增函數(shù)，故；

因?yàn)?/span>，故，

綜上，