Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）當(dāng)時(shí)，判斷的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減（2）

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，即得函數(shù)單調(diào)性；

（2）先根據(jù)且函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，得恒成立，方法一：對(duì)分類(lèi)討論并參變分離，轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)函數(shù)最值，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求對(duì)應(yīng)函數(shù)最值，即可得結(jié)果；方法二：轉(zhuǎn)化研究單調(diào)性，對(duì)分類(lèi)討論，結(jié)合單調(diào)性確定最值，即得結(jié)果.

解：（1）當(dāng)時(shí)，，

，

令得；令得或.

在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減.

（2）方法一：因?yàn)?/span> ，且函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，

，成立，即恒成立，

.

①當(dāng)時(shí)，恒成立，.

②當(dāng)時(shí)，，令，則，

，

又在上單調(diào)遞增，且時(shí)，，

令得，，

x		1
		0
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

，.

③當(dāng)時(shí)，，則.

又在上單調(diào)遞增，，

令得，即，

x
		0
	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

，.

綜上，.

方法二：因?yàn)?/span>，且函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，

，成立，即恒成立，

恒成立，即恒成立.

而，

①當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

的極大值為，

恒成立，即極大值且當(dāng)時(shí)，.

（i）若，且 在單調(diào)遞增，

有，

此時(shí)成立.

（ii）由得，

②當(dāng)時(shí)，成立.

③當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

的極大值為，

恒成立，即極大值且當(dāng)時(shí)，.

（i）若，因?yàn)?/span>在單調(diào)遞增，且，

有，

此時(shí)成立.

（ii）由得.

綜上，.