Question

（本小題滿分14分）
已知雙曲線：和圓：（其中原點(diǎn)為圓心），過雙曲線上一點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、．
（1）若雙曲線上存在點(diǎn)，使得，求雙曲線離心率的取值范圍；
（2）求直線的方程；
（3）求三角形面積的最大值．

Answer 1

解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7e/c/121j83.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以．…………………1分
由及圓的性質(zhì)，可知四邊形是正方形，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/30/f/15raj2.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以．……………3分
故雙曲線離心率的取值范圍為．…………………………………………………………4分
（2）方法1：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/bd/4/hizyl1.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的方程為．………5分
因?yàn)閳A與圓兩圓的公共弦所在的直線即為直線，……………………………………………6分
所以聯(lián)立方程組………………………………………………7分
消去，，即得直線的方程為．………………………………………………8分
方法2：設(shè)，已知點(diǎn)，
則，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3c/d/ktf6n3.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，即．…………………………………………5分
整理得．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e8/b/o2qa31.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以．……………………………………………………………6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/21/d/1qgel3.gif" style="vertical-align:middle;" />，，根據(jù)平面幾何知識可知，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/29/9/1vknp4.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以．………………………………………………………………………7分
所以直線方程為．
即．
所以直線的方程為．………………………………………………………………8分
方法3：設(shè)，已知點(diǎn)，
則，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3c/d/ktf6n3.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，即．…………………………………………5分
整理得．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e8/b/o2qa31.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以．……6分
這說明點(diǎn)在直線上．…………7分
同理點(diǎn)也在直線上．
所以就是直線的方程．……8分
（3）由（2）知，直線解析