Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=

ax2

2

，直線l：y=（k-3）x-k+2
（1）函數(shù)f（x）在x=e處的切線與直線l平行，求實(shí)數(shù)k的值
（2）若至少存在一個(gè)x₀∈[1，e]使f（x₀）＜g（x₀）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（3）設(shè)k∈Z，當(dāng)x＞1時(shí)f（x）的圖象恒在直線l的上方，求k的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到關(guān)于k的方程解得即可．
（2）由于存在x₀∈[1，e]，使f（x₀）＜g（x₀），則kx₀＞2lnx₀⇒a＞

2lnx0

x0

，只需要k大于h（x）=

2lnx

x

的最小值即可．
（3）分離參數(shù)，得到k＜

xlnx+3x-2

x-1

，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的最小值即可．

解答： 解：（1）∵f′（x）=1+lnx，
∴f′（e）=1+lne=k-3
∴k=5，
（2）由于存在x₀∈[1，e]，使f（x₀）＜g（x₀），
則

1

2

ax₀²＞x₀lnx₀，
∴a＞

2lnx0

x0

設(shè)h（x）=

2lnx

x

則h′（x）=

2(1-lnx)

x2

，
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，h′（x）≥0（僅當(dāng)x=e時(shí)取等號(hào)）
∴h（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（1）=0，因此a＞0．
（3）由題意xlnx＞（k-3）x-k+2在x＞1時(shí)恒成立
即k＜

xlnx+3x-2

x-1

，
設(shè)F（x）=

xlnx+3x-2

x-1

，
∴F′（x）=

x-lnx-2

(x-1)2

，
令m（x）=x-lnx-2，則m′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

＞0在x＞1時(shí)恒成立
所以m（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，且m（3）=1-ln3＜0，m（4）=2-ln4＞0，
所以在（1，+∞）上存在唯一實(shí)數(shù)x₀（x₀∈（3，4））使m（x）=0
當(dāng)1＜x＜x₀時(shí)m（x）＜0即F′（x）＜0，
當(dāng)x＞＜x₀時(shí)m（x）＞0即F′（x）＞0，
所以F（x）在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，
F（x）_min=F（x₀）=

x0lnx0+3x0-2

x0-1

=

x0(x0-2)+3x0-2

x0-1

=x₀+2∈（5，6）
故k＜x₀+2又k∈Z，所以k的最大值為5

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)恒成立的問題，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法以及分析問題的能力，屬于難題．